Esercizio su carattere di una serie

[GlassPrisoner91]

Salve, non riesco a capire come procedere nel calcolo per stabilire il carattere di questa serie:

$\sum_{n=1}^\infty (ln n)^n/(3^(n^2))$

Innanzitutto il limite dovrebbe far $0$ quindi la serie potrebbe convergere.

Su due piedi, provo con il criterio del rapporto:

$a_(n+1)=(ln (n+1))^(n+1)/(3^((n+1)^2))$

Quindi calcolo il limite:

$lim_(n->\infty)(((ln (n+1))^(n+1)/(3^((n+1)^2)))/((ln n)^n/(3^(n^2))))$

$=lim_(n->\infty)((ln (n+1))^(n+1)/(3^((n+1)^2))*3^(n^2)/(ln n)^n)$

...arrivato a questo punto non so come continuare, qualcosa mi dice che bisogna semplificare qualcosa.

[Anacleto13]

$lim_(n->\infty)((ln (n+1))^(n+1)/(3^((n+1)^2))*3^(n^2)/(ln n)^n) $

*rimuovo perché la soluzione non era corretta..

[otta96]

Non direi, hai che, riscrivendo quel limite si ottiene $ln(n+1)(ln(n+1)/lnn)^n/3^((n+1)^2-n^2)=ln(n+1)(1+ln(1+1/n)/lnn)^n/3^(2n+1)$ che è asintoticamente equivalente a $lnn/9^n$, che converge a $0$ (e anche molto velocemente!), quindi la serie proposta converge.

[pilloeffe]

Ciao GlassPrisoner91,

Confermo quanto scritto da otta96 in merito alla convergenza della serie proposta.
Segnalo solo che, in questo caso, è molto più rapido applicare il criterio della radice:

$lim_{n \to +\infty} frac{ln(n)}{3^n} = 0 $

Pertanto, come già detto, la serie proposta converge.

[GlassPrisoner91]

Vi ringrazio, con il criterio del rapporto i calcoli risultato abbastanza complessi (per quanto mi riguarda). Con il criterio della radice la soluzione è quasi immediata. In genere se non erro, ho capito che quando abbiamo l'esponente $n$ al numeratore e al denominatore conviene assolutamente provare con il criterio della radice.

[otta96]

Si, è senz'altro la cosa più conveniente.

[Weierstress]

In genere se non erro, ho capito che quando abbiamo l'esponente n al numeratore e al denominatore conviene assolutamente provare con il criterio della radice.

Esatto, magari prestando attenzione ai casi in cui puoi ricondurti a una serie geometrica (in questo modo, puoi ottenere anche la somma).