Esercizio su R

[galles90]

Buonasera amici,
ho il svolto il seguente esercizio di cui vi propongo, vi chiedo se lo svolto in modo corretto :

Siano \(\displaystyle a,b \in \mathbb{R} \) con \(\displaystyle a>0 , b>0 \). Dimostrare che allora si ha :

\(\displaystyle \tfrac{2ab}{{a+b}}\le \sqrt{ab} \le \tfrac{a+b}{2} \)

Soluzione :

\(\displaystyle \begin{cases} \sqrt{ab} \ge \tfrac{2ab}{a+b}, \\ \sqrt{ab} \le \tfrac{a+b}{2},
\end{cases} \), ne segue
la prima disequazione si articola nel seguente modo:


\(\displaystyle 1=\begin{cases} ab \ge 0 \\ \tfrac{2ab}{a+b} \le 0, \end{cases} \bigcup \begin{cases} \tfrac{2ab}{a+b} \ge 0 \\ ab \ge {(\tfrac{2ab}{a+b}})^2, \end{cases} \), il mio dubbio è sul primo sistema nella seconda disequazione, visto che \(\displaystyle a>0 b>0 \), comunque opero nel modo seguente :

Se \(\displaystyle \tfrac{2ab}{a+b} < 0 \) allora sicuramente è verificata la seguente relazione \(\displaystyle ab \ge 0 \), quindi il primo sistema è verificato, sul secondo sistema non ci sono problemi e neanche sulla secondo disequazione nel sistema principale.

Grazie della risposte.

Buona serata

[Bremen000]

Se $a$ e $b$ sono maggiori di $0$ allora anche $(2ab)/(a+b) >0$, qualunque valore tu dia ad $a$ e $b$...

[galles90]

Grazie per la risposta Bremen000,


come è stato impostato il problema è corretto ?

[pilloeffe]

Ciao galles90,

La relazione da dimostrare proposta non è altro che la seguente:

$ H \le G \le A $

ove:
- $H$ è la media armonica di $a$ e $b$;
- $G$ è la media geometrica di $a$ e $b$;
- $A$ è la media aritmetica di $a$ e $b$.

Per provare che $G \le A $, basta considerare che

$(a - b)^2 \ge 0 $

con l'uguaglianza che vale se e solo se $a = b $. Perciò si ha:

$a^2 - 2ab + b^2 \ge 0 \implies 2ab \le a^2 + b^2 \implies ab \le frac{a^2 + b^2}{2} $

Posto $sqrt{a} $ al posto di $a$ e $sqrt{b}$ al posto di $b$, si ha proprio

$ sqrt{ab} \le frac{a + b}{2} $

Per quanto riguarda la seconda, per definizione si ha:

$H := frac{1}{frac{1/a + 1/b}{2}} = frac{2}{1/a + 1/b} = frac{2ab}{a + b}$

Per dimostrare che $H \le G $ basta partire dalla $ sqrt{ab} \le frac{a + b}{2} $ e sostituire $1/a $ al posto di $a$ e $1/b$ al posto di $b$:

$frac{1}{sqrt{ab}} \le frac{1/a + 1/b}{2} \implies sqrt{ab} \ge frac{2}{1/a + 1/b} \implies sqrt{ab} \ge frac{2ab}{a + b}$

che è proprio ciò che si voleva dimostrare. Più in generale, vale la catena di disuguaglianze seguente:

$min\{a, b\} \le H \le G \le A \le Q \le C \le max\{a, b\} $

ove

$Q := sqrt{frac{a^2 + b^2}{2}} $

è la media quadratica e

$C := root[3]{frac{a^3 + b^3}{2}} $

è la media cubica.

[galles90]

Ciao pilloeffe, grazie per la risposta domani me la studierò intanto la mia impostazione non ha proprio senso ?

Grazie infinite

[pilloeffe]

intanto la mia impostazione non ha proprio senso ?

Temo di no, per il semplice motivo che sei partito dalla relazione che avresti dovuto dimostrare...

Grazie infinite

Prego!

[galles90]

Grazie pilloeffe, sei stato un grande chiarissimo