Buonasera amici,
ho il svolto il seguente esercizio di cui vi propongo, vi chiedo se lo svolto in modo corretto :
Siano \(\displaystyle a,b \in \mathbb{R} \) con \(\displaystyle a>0 , b>0 \). Dimostrare che allora si ha :
\(\displaystyle \tfrac{2ab}{{a+b}}\le \sqrt{ab} \le \tfrac{a+b}{2} \)
Soluzione :
\(\displaystyle \begin{cases} \sqrt{ab} \ge \tfrac{2ab}{a+b}, \\ \sqrt{ab} \le \tfrac{a+b}{2},
\end{cases} \), ne segue
la prima disequazione si articola nel seguente modo:
\(\displaystyle 1=\begin{cases} ab \ge 0 \\ \tfrac{2ab}{a+b} \le 0, \end{cases} \bigcup \begin{cases} \tfrac{2ab}{a+b} \ge 0 \\ ab \ge {(\tfrac{2ab}{a+b}})^2, \end{cases} \), il mio dubbio è sul primo sistema nella seconda disequazione, visto che \(\displaystyle a>0 b>0 \), comunque opero nel modo seguente :
Se \(\displaystyle \tfrac{2ab}{a+b} < 0 \) allora sicuramente è verificata la seguente relazione \(\displaystyle ab \ge 0 \), quindi il primo sistema è verificato, sul secondo sistema non ci sono problemi e neanche sulla secondo disequazione nel sistema principale.
Grazie della risposte.
Buona serata