Applicazioni e chiusura

[rasakkandar]

Sia $f$ una mappa continua tra $X_1$ e $X_2$ metrici, e $A$ un sottoinsieme di $X_2$.
E' vero in generale che \(\overline {f^{-1}(A)}\subseteq f^{-1}(\overline A)\)? Se sì, come lo dimostro?

[spugna]

Da $A subseteq \overline{A}$ segue $f^(-1)(A) \subseteq f^(-1)(\overline{A})$, ma quest'ultimo è chiuso per la continuità di $f$, e in generale se un chiuso contiene un insieme contiene anche la sua chiusura.