Dimostrazione del "Teorema di esistenza ed unicità GLOBALE"

[Registil]

Agli inizi di Ottobre dovrei fare l'orale di Analisi 2, ed essendo stato rimandato all'appello di Settembre a causa di dimostrazioni non giuste e definizioni non precise, sto cercando di fare un ripasso completo di tutti gli argomenti oltre che controllare e sistemare gli appunti.

Detto questo, volevo chiedervi se quanto segue è corretto:

Posta f continua nel suo intervallo di definizione e lipschitzana rispetto a y ed uniforme rispetto ad x:

$ Hp:{ ( f:S=[a,b]xx R->R |fin C°(S) ),(EE L>0:|f(x,y_1)-f(x,y_2)|<=L|y_1-y_2| AA y_1 y_2 in R AA x in [a,b] ):} $

vale la tesi:

$ Th: AAx in [a,b] AA y_0, EE! y=y(x) in R:{ (y'=f(x,y)),( y(x_0)=y_0):} $

Al fine di verificare la tesi, devo dimostrare l'esistenza e l'unicità della soluzione.

Dimostrazione (dell'esistenza):

Innanzi tutto, considero l'equivalenza della tesi con:

$ AA x in[a,b], EE!y=y(x)inR:y=y_0+int_(x_0)^(x) f(t,y(t)) dx $

Fatto ciò, definisco la seguente successione di soluzioni: $ { ( y_0(x)=y_0 ),( y_1(x)=y_0+int_(x_0)^(x)f(t,t_0) dt),( y_2(x)=y_0+int_(x_0)^(x) f(t,y_1(t)) dt ),( ...),( y_n(x)=y_0+int_(x_0)^(x) f(t,y_(n-1)(t)) dt ):} $

Per dimostrarne l'esistenza mi pongo l'obbiettivo di dimostrare che la successione definita è uniformemente convergente al fine di applicare il teorema del passaggio al limite sotto al segno di integrale, cioè:
$ y(x)=lim_(n -> +oo ) y_n(x)= lim_(n -> +oo )y_0+int_(x_0)^(x)f(t,y_(n-1)(t)) dt =y_0+int_(x_0)^(x) lim_(n -> +oo ) f(t,y_(n-1)(t))=y_0+int_(x_0)^(x)f(t,y(t)) dt $

Volendo studiare la successione, prendo in esame:
$ y_0+(y_1(x)-y_0)+(y_2(x)-y_1(x))+...+(y_(n+1)(x)-y_n(x)) $

e definisco le seguenti successioni delle somme parziali: $ { ( S_1=y_0 ),( S_2=y_1(x) ),( S_3=y_2(x) ),( ... ) , (S_(n+1)=y_n(x)):} $

Dunque:
$ |y_1(x)-y_0|=|int_(x_0)^(x) f(t,y_0) dt|<=|int_(x_0)^(x) (|f(t,y_0)|) dt|<=M|int_(x_0)^(x)dt|=M|x-x_0| $

dove: $ M=max{|f(t,y_0)|:tin[a,b]} $ (in quanto, per ipotesi, la funzione è continua nel suo intervallo di definizione e, dal teorema di Weierstrass, essa ha sicuramente punti di massimo).

Analogamente al caso precedente (sfruttando, ora, anche la lipschitzianità della funzione):
$ |y_2(x)-y_1(x)|=|y_0+int_(x_0)^(x) f(t,y_1(t)) dt-y_0- int_(x_0)^(x) f(t,y_0(t)) dt|=..=|int_(x_0)^(x) [f(t,y_1(t))-f(t,y_0(t)] dt|<=|int_(x_0)^(x) |f(t,y_1(t))-f(t,y_0)| dt|<=|int_(x_0)^(x)L*|y_1(x)-y_0(x)|dt|<=...<=(M*L*|x-x_0|^(2))/2 $

Procedendo per induzione, ottengo che:
$ |y_(n+1)(x)-y_n(x)|<=...<=M*L*|x-x_0|^(n+1)/((n+1)!) $

Inoltre:

$ M*L*|x-x_0|^(n+1)/((n+1)!)<=M*L^n*(b-a)^(n+1)/((n+1)!)=M*L^n*(b-a)^(n+1)/((n+1)!)*L/L=(M/L)*(L(b-a))^(n+1)/((n+1)!) $

La quantità all'ultimo membro risulta essere il termine generale dello sviluppo in serie di Taylor dell'esponenziale $ e^z $, cioè $ e^z=sum_(k=1)^(+oo)z^(n+1)/((n+1)!) $ , dove $ z=L(b-a) $.

Essendo lo sviluppo di e sicuramente convergente, il termine generale, al tendere di n a più infinito, converge a 0.

Per quanto detto, allora, è possibile dimostrare la convergenza uniforme della successione precedentemente definita e poter dunque dimostrare la tesi; infatti:

$ 0<=Sup|f(x,y_n(x))-f(x,y_n-1(x))|<=L*|y_n(x)-y(x)| $

ed avendo dimostrato che l'ultimo membro a destra, al tendere di n a più infinito, converge a 0, la quantità al secondo membro (per il teorema del confronto) è tale da convergere anch'esso a 0 al tendere i n a più infinito.

L'unicità della soluzioni mi è chiara, ed i miei unici dubbi sono relativi appunto alla dimostrazione dell'esistenza della soluzione.

Grazie in anticipo.

P.S. In caso alcuni passaggi risultassero poco formali e/o poco chiari, vi invito a farmelo notare in modo tale prendere nota e sistemare il tutto.