Limite di una funzione composta !!!

[galles90]

Giorno amici,

Ho la seguente proposizione sulle miei dispense di cui non riporta la dimostrazione, segue :

Per la proposizione di limite di una funzione composta e per la continuità del valore assoluto si ha :

\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=y_0 \rightarrow \lim_{x\to x_0}|f(x)|=|l| \)

Riporto la mia dimostrazione :

Siano \(\displaystyle f,g \), tali che:

\(\displaystyle f:x\in X\to f(x) \in X \)
\(\displaystyle g:y\in Y\to g(y) \in \mathbb{R} \)

si può considerare allora la loro funzione composta:

\(\displaystyle g\circ f : x\in X \to g(f(x)) \in \mathbb{R} \).

Ne segue, che la funzione \(\displaystyle g \) è la funzione valore assoluto, e suppongo che la funzione \(\displaystyle f \) è continua.
Dalla proposizione di limite di funzione composta, si ha :

1) \(\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=y_0 \)

e

2 \(\displaystyle \lim_{y\to y_0} g(y)=l \)

si ha

3 \(\displaystyle \to \lim_{y\to y_0} g(f(x))=l \),

ovviamente per \(\displaystyle g(f(x)) = g(y) \) quindi nel nostro caso si ha \(\displaystyle |y|=g(y) \),

quindi in corrispondenza dell'intorno \(\displaystyle I_l \) di \(\displaystyle l \), si può determinare l'intorno \(\displaystyle I_{y_0} \), quindi si ha:
\(\displaystyle y\in I_{y_0} \cap Y\setminus{y_0} \to |y|\in I_l\).

Ora, in corrispondenza dell'intorno \(\displaystyle I_{y_0} \), possiamo determinare un intorno \(\displaystyle I_{x_0} \) di \(\displaystyle x_0 \). quindi si ha:
\(\displaystyle x\in I_{x_0} \cap X\setminus{x_0} \to f(x) \in I_{y_0}\).

Pertanto possiamo considerare un intorno \(\displaystyle I_{x_0} \) di \(\displaystyle x_0 \), quindi si ha :

\(\displaystyle x \in I_{x_0} \cap X \setminus{x_0} \to |f(x)| \in I_l\).

Aspetto i vostri pareri e consigli.

Grazie per le risposte

[Bremen000]

Ciao, faccio un po' fatica a seguirti:

Per la proposizione di limite di una funzione composta

Cioè?

\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=y_0 \rightarrow \lim_{x\to x_0}|f(x)|=|l| \)

Ma chi è $l$?

$f:x\inX\tof(x)\inX$

Sarà $f: X \to Y$ , $x \mapsto f(x)$. E se vuoi comporre questa funzione con il valore assoluto c'è bisogno che il codominio sia $RR$...

Ne segue, che la funzione $g$ è la funzione valore assoluto, e suppongo che la funzione $f$ è continua.

Vuoi dire che supponi che $g$ sia la funzione valore assoluto?

Comunque se per "proposizione di limite di una funzione composta" intendi il fatto che se hai

$f: X \to Y$
$g:Y to Z$
con $g$ continua e $\lim_{x \to x_0} f(x) = l$ e $lim_{y \to l} g(y)=h$ allora

$\lim_{x \to x_0} g(f(x))=h$

allora la tua proposizione è una banale applicazione di questo teorema e non c'è bisogno di dimostrazioni.