Serie numerica

Messaggioda krauser\ » 24/09/2017, 17:52

Salve,mi dareste una mano sullo svolgimento di questa serie? Dovrebbe essere una serie geometrica,è il primo esercizio in cui incontro una serie geometrica e non so proseguire.. Avevo pensato di usare il criterio del rapporto..ma poi? Grazie in anticipo.

$ sum_(n =1 \ldots) (2n-1)/(sqrt x^(n)) $
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Re: Serie numerica

Messaggioda cooper » 24/09/2017, 18:04

immagino tu debba studiare la convergenza al variare di $x > 0$.
io userei l'asintoticità a $n/(sqrtx)^n$ ed a questa applicherei il criterio della radice.
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Re: Serie numerica

Messaggioda krauser\ » 24/09/2017, 18:09

La n al denominatore è l'esponente della x
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Re: Serie numerica

Messaggioda cooper » 24/09/2017, 18:14

intendi quindi $sqrt(x^n)$? se si sono due scritture equivalenti per le proprietà delle potenze
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Re: Serie numerica

Messaggioda krauser\ » 24/09/2017, 18:33

Alla fine del criterio della radice ho

$ lim_(n -> oo ) n^(1/n)/x^(1/2) $

mi aiuti nella discussione? Oppure ho mancato qualcosa?
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Re: Serie numerica

Messaggioda cooper » 24/09/2017, 18:35

quel limite viene $1/sqrtx$. cosa dice il criterio della radice? converge quando? e quindi cosa puoi dedurne?
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Re: Serie numerica

Messaggioda krauser\ » 24/09/2017, 18:38

Scusami ma la stanchezza dopo un po' si fa sentire.. Comunque tutto risolto,grazie mille,sei stato gentilissimo!
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Re: Serie numerica

Messaggioda cooper » 24/09/2017, 18:39

di nulla :)
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Re: Serie numerica

Messaggioda pilloeffe » 25/09/2017, 10:10

Ciao krauser\.

Stavo riflettendo sul fatto che della serie proposta è possibile anche calcolarne la somma (ovviamente quando converge).
Infatti, posto per comodità $t := 1/sqrt{x} $, per $|t | < 1$, cioè per $x > 1$, si ha:

$ sum_{n = 1}^{+\infty} (2n-1)/(sqrt x^(n)) = sum_{n = 1}^{+\infty} 2n t^n - sum_{n = 1}^{+\infty} t^n = 2 sum_{n = 1}^{+\infty} n t^{n} - (sum_{n = 0}^{+\infty} t^n - 1) = frac{2t}{(1 - t)^2} - (frac{1}{1 - t} - 1) = $
$ = frac{2t}{(1 - t)^2} - frac{t}{1 - t} = frac{2t - t(1 - t)}{(1 - t)^2} = frac{t^2 + t}{(1 - t)^2} = frac{1/x + 1/sqrt{x}}{(1 - 1/sqrt{x})^2} = frac{1/x + 1/sqrt{x}}{frac{(sqrt{x} - 1)^2}{x}} = frac{sqrt{x} + 1}{(sqrt{x} - 1)^2} $

In definitiva si ha:

\( \displaystyle \begin{equation}
\boxed{S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2n-1}{\sqrt x^{n}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)^2} \qquad \qquad x > 1 \qquad}
\end{equation} \)
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