da pilloeffe » 25/09/2017, 10:10
Ciao krauser\.
Stavo riflettendo sul fatto che della serie proposta è possibile anche calcolarne la somma (ovviamente quando converge).
Infatti, posto per comodità $t := 1/sqrt{x} $, per $|t | < 1$, cioè per $x > 1$, si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} (2n-1)/(sqrt x^(n)) = sum_{n = 1}^{+\infty} 2n t^n - sum_{n = 1}^{+\infty} t^n = 2 sum_{n = 1}^{+\infty} n t^{n} - (sum_{n = 0}^{+\infty} t^n - 1) = frac{2t}{(1 - t)^2} - (frac{1}{1 - t} - 1) = $
$ = frac{2t}{(1 - t)^2} - frac{t}{1 - t} = frac{2t - t(1 - t)}{(1 - t)^2} = frac{t^2 + t}{(1 - t)^2} = frac{1/x + 1/sqrt{x}}{(1 - 1/sqrt{x})^2} = frac{1/x + 1/sqrt{x}}{frac{(sqrt{x} - 1)^2}{x}} = frac{sqrt{x} + 1}{(sqrt{x} - 1)^2} $
In definitiva si ha:
\( \displaystyle \begin{equation}
\boxed{S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2n-1}{\sqrt x^{n}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)^2} \qquad \qquad x > 1 \qquad}
\end{equation} \)