Calcolo dell'estremo superiore di un insieme

Messaggioda galles90 » 25/09/2017, 18:50

Ciao amici, ho una lacuna con la seguente nozione, ovvero sull'estremo superiore:

L'esercizio chiede di determinare sia l'estremo superiore che l'estremo inferiore dell'insieme \(\displaystyle A=(n+n^2)/(n-1) :n\in \mathbb{N}, n\ge 2 \).

Io procedo nel seguente modo

Per il \(\displaystyle supA \), si osserva che l'insieme definisce una funzione crescente, inoltre \(\displaystyle A \subseteq \mathbb{N} \), quindi \(\displaystyle A \) non è limitato superiormente.

Invece per \(\displaystyle infA \), si osserva che per \(\displaystyle n=2 \) si ha \(\displaystyle A=6 \), quindi per la definizione di \(\displaystyle infA=k \) se esiste deve verificare le seguente due proprietà

1) \(\displaystyle \forall a \in A \ k \le a \)
2) \(\displaystyle \forall \epsilon \exists a \in A : a \le k+ \epsilon \)

ne segue:

\(\displaystyle \tfrac{n+n^2}{n-1} \le 6+\epsilon \)
\(\displaystyle \tfrac{n+n^2}{n-1} - 6+\epsilon \le 0 \)
\(\displaystyle \tfrac{n+n^2 -6n+6 -n\epsilon+\epsilon}{n-1} \le 0 \)
qui mi blocco.

Grazie per le risposte
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Re: Calcolo dell'estremo superiore di un insieme

Messaggioda Weierstress » 25/09/2017, 19:29

Mi sembra un po' confuso. Dove sta il dubbio sul \(\sup\) se hai detto correttamente che la successione tende all'infinito?

Poi, il $6$ è candidato ad essere l'estremo inferiore...
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Re: Calcolo dell'estremo superiore di un insieme

Messaggioda dissonance » 25/09/2017, 19:35

galles90 ha scritto:
l'insieme definisce una funzione crescente

Questa frase non significa niente.
inoltre \(\displaystyle A \subseteq \mathbb{N} \)

Non è vero. Ad esempio, se \(n=4\), allora \(\frac{n^2+n}{n-1}=\frac{20}{3}\), che non è un intero.

Già a questo punto mi fermerei a correggere la parte di svolgimento relativa al calcolo del sup. Il risultato è giusto: \(\sup A=+\infty\), ma è molto importante che tu corregga gli errori di forma.

Dopo pensiamo all'inf.
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Re: Calcolo dell'estremo superiore di un insieme

Messaggioda galles90 » 26/09/2017, 07:06

Grazie ad entrambi :)

Per le due osservazioni che mi ha fatto dissonance:
1) Intendo dire che è una funzione crescente, quindi presi due \(\displaystyle n_1,n_2 : n_1<n_2 \to f(n_1) < f(n_2) \), quindi per un certo \(\displaystyle n \to f(n)=+ \infty \), ovviamente per un \(\displaystyle n \) abbastanza grande quindi \(\displaystyle n=+\infty \)

2) Invece qui voglio dire che l'insieme dei numeri naturali non è limitato superiormente.

A presto
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Re: Calcolo dell'estremo superiore di un insieme

Messaggioda dissonance » 26/09/2017, 08:47

Non hai risposto alle mie domande e continui ad esprimerti malamente.

1) Chi è questa funzione crescente? Scrivila esplicitamente. Cosa intendi con $n=\infty$?

2) Lo so che l'insieme dei numeri naturali non è limitato superiormente, ma cosa c'entra qui
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Re: Calcolo dell'estremo superiore di un insieme

Messaggioda galles90 » 26/09/2017, 10:42

Buongiorno,

1)Io intendo come funzione \(\displaystyle f(n)=\tfrac{n+n^2}{n-1} \),

Presi \(\displaystyle n_1 =3, n_2=4 \) si ha :

\(\displaystyle f(n_1)=f(3)=\tfrac{3+3^2}{3-1}=\tfrac{3+9}{2}=\tfrac{12}{2}=6 \)
\(\displaystyle f(n_2)=f(4)=\tfrac{4+4^2}{4-1}=\tfrac{4+16}{3}=\tfrac{20}{3}=\tfrac{20}{3} \)

presi anche \(\displaystyle n_3 =6, n_4=8 \) si ha :

\(\displaystyle f(n_3)=f(6)=\tfrac{6+6^2}{6-1}=\tfrac{6+36}{5}=\tfrac{42}{5}=8,4 \)
\(\displaystyle f(n_4)=f(8)=\tfrac{8+8^2}{8-1}=\tfrac{8+64}{7}=\tfrac{72}{7}=10,28 \)

osservo che al crescere del valore \(\displaystyle n \) cresce anche la sua immagine, quindi per \(\displaystyle n \) abbastanza grande, tipo \(\displaystyle n=\infty \) si verifica che il \(\displaystyle supA=\infty \).

2) Essendo che l'insieme dei numeri naturali non è limitato superiormente, conferma ancora di più l'osservazione che il \(\displaystyle supA=\infty\).
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Re: Calcolo dell'estremo superiore di un insieme

Messaggioda galles90 » 26/09/2017, 11:08

Può essere che faccio confusione con il \(\displaystyle supf(A) \) :D confondendo le due definizioni.

Ciao a presto
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Re: Calcolo dell'estremo superiore di un insieme

Messaggioda dissonance » 26/09/2017, 11:44

1) Non hai dimostrato nulla. Non puoi dire che \(f\) è crescente. Chi ti dice che \(f(n_1)<f(n_2)\) per ogni \(n_1<n_2\)? Tu lo hai verificato solo per tre o quattro valori di \(n_1, n_2\).

2) Lasciamo perdere questa cosa.

---

In ogni caso, io credo di intuire cosa vuoi dire: vuoi dire che, siccome \(\lim_{n\to \infty} f(n)=\infty\) (che è diverso da dire: prendiamo \(n=\infty\)!!!), allora \(\sup A=\infty\). Questo è vero (anche se andrebbe scritto come si deve).

Adesso devi calcolare l'inf. Se riuscissi a dimostrare, ma dimostrare BENE, che \(f\) è crescente allora \(\inf A = f(2)\).
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Re: Calcolo dell'estremo superiore di un insieme

Messaggioda galles90 » 26/09/2017, 13:50

Ok risolviamo un problema alla volta :D
se voglio dimostrare che \(\displaystyle f(n) \) è crescente potrei dimostrarlo grazie alla seguente proposizione:

X) La somma di due funzioni crescenti è ancora una funzione crescente ?
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