Ciao amici, ho una lacuna con la seguente nozione, ovvero sull'estremo superiore:
L'esercizio chiede di determinare sia l'estremo superiore che l'estremo inferiore dell'insieme \(\displaystyle A=(n+n^2)/(n-1) :n\in \mathbb{N}, n\ge 2 \).
Io procedo nel seguente modo
Per il \(\displaystyle supA \), si osserva che l'insieme definisce una funzione crescente, inoltre \(\displaystyle A \subseteq \mathbb{N} \), quindi \(\displaystyle A \) non è limitato superiormente.
Invece per \(\displaystyle infA \), si osserva che per \(\displaystyle n=2 \) si ha \(\displaystyle A=6 \), quindi per la definizione di \(\displaystyle infA=k \) se esiste deve verificare le seguente due proprietà
1) \(\displaystyle \forall a \in A \ k \le a \)
2) \(\displaystyle \forall \epsilon \exists a \in A : a \le k+ \epsilon \)
ne segue:
\(\displaystyle \tfrac{n+n^2}{n-1} \le 6+\epsilon \)
\(\displaystyle \tfrac{n+n^2}{n-1} - 6+\epsilon \le 0 \)
\(\displaystyle \tfrac{n+n^2 -6n+6 -n\epsilon+\epsilon}{n-1} \le 0 \)
qui mi blocco.
Grazie per le risposte