Amici buongiorno
ho un dubbio con il seguente teorema di cui :
Sia \(\displaystyle x_0 \) un punto di accumulazione per \(\displaystyle X \).Esiste una successione di punti di \(\displaystyle X\setminus{x_0} \) convergente a x_0.
Se \(\displaystyle X \) non è limitato superiormente (inferiormente) esiste una successione di punti di \(\displaystyle X \) che diverge positivamente (negativamente)
Dimostrazione:
Per ogni \(\displaystyle n \) scegliamo un punto \(\displaystyle x_n \in X \setminus {x_0} \) tale che :
1) \(\displaystyle x_0 -\tfrac{1}{n} <x_n< x_0+\tfrac{1}{n} \)
In modo analogo si ottiene il risultato negli altri due casi.
Fine della dimostrazione sulla mia dispensa.
Ora la 1) dice che \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n=x_0 \), quindi se è cosi per ogni \(\displaystyle n \) che noi scegliamo la successione ricade nell'intervallino 1) ??
Invece per la seconda parte suppongo che deve essere cosi:
Sia \(\displaystyle X \) non limitato superiormente, quindi \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n=+\infty \), per definizione di limite di successione non limitata superiormente si ha :
\(\displaystyle \forall K, \exists \delta: \forall n>\delta \to x_n>K \), quindi la 1) diventa :
\(\displaystyle x_0 -\tfrac{1}{n} <K<x_n \)
Grazie per i consigli e pareri.
Ciao