Equazione differenziale (esercizio)

[paolodlb]

Buonasera ragazzi! poichè ho riscontrato problemi nella risoluzione di questo esercizio volevo sapere se qualcuno fosse in grado di risolverlo..
$ Dato il problema di Cauchy
{y'=1/[1+cos(πy)] , y (a) = b
1. determinare il più grande aperto connesso Ω⊂R^2 dove il problema è ben definito
2. stabilire se esistono soluzioni costanti
3. stabilire se le soluzioni del problema in Ω esistono e in tal caso se sono uniche
4. stabilire se la soluzione per a=0 e b=0 si estende su R
5. stabilire se esistono soluzioni del problema in Ω estendibili in R $

Grazie in anticipo!

[gugo82]

Idee tue?

[paolodlb]

Idee tue?

1. trovo punti in cui si annulla il denominatore, cioè y=1+2k. essendo il sistema autonomo, queste y definiranno delle rette nel piano t,y, per cui ho pensato che il più grande aperto connesso sia la regione delimitata da due di queste rette.
2. la forzante non si annulla mai, quindi non ci sono soluzioni costanti
3. se ho definito bene Ω, verifico che la f è di classe C1 esclusi i punti non appartenenti a Ω, quindi nella regione descritta da Ω ho esistenza e unicità
4. la soluzione (trovata con integrazione) vale y=t-sen(πy)/π.. non so se mi basta disegnare un grafico qualitativo e vedere come si comporta lungo l'asse t o se devo usare il teorema dell'estensione globale....
5. non la so