Sia \(\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}' \) tale che \(\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y) \) e \(\displaystyle f(xy)=f(x)f(y) \), dimostrare che f è suriettiva.
Andando per step sono riuscito a dimostrare che \(\displaystyle f(0)=0' \), \(\displaystyle f(1)=1' \), \(\displaystyle f(-x)=-f(x) \).
Inoltre ragionando per assurdo, se esistesse un \(\displaystyle x_0' \in \mathbb{R}'\) che non è immagine di nessun elemento del dominio, allora vorrebbe dire che: \(\displaystyle (x_0' -y')+y' \) non è immagine di niente, \(\displaystyle \forall y' \in \mathbb{R}' \).
Ciò implica che ( per la proprietà \(\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y) \) ):
\(\displaystyle \Biggl( x_0'-y' \notin \text{Im} \left\{ f \right\} \Biggr) \vee \Biggl( y' \notin \text{Im} \left\{ f \right\} \Biggr) ,\forall y' \in \mathbb{R}' \)
dove con \(\displaystyle \text{Im} \left\{ f \right\} \) ho indicato l'immagine della funzione.
Cioè basta che un elemento non sia nell'immagine, allora altri infiniti non ci sono.
Una cosa analoga si può fare sfruttando l'altra proprietà (scissione del prodotto).
Ad ogni modo questo non basta per trovare un assurdo (almeno io ancora non lo vedo).
Qualche input?
Grazie.