Re: Numero di nepero

Messaggioda galles90 » 15/11/2017, 11:22

ieri scrissi che questa quantità :
galles90 ha scritto:
galles90 ha scritto:$ 2+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $ tende a 2
in particolare la quantità $\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $ tende a zero, per n abbastanza grande. Per questo motivo ho scritto quello.
Avatar utente
galles90
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 214 di 1796
Iscritto il: 17/10/2016, 17:56
Località: Salerno

Re: Numero di nepero

Messaggioda pilloeffe » 15/11/2017, 11:46

galles90 ha scritto:in particolare la quantità [...] tende a zero, per $n$ abbastanza grande. Per questo motivo ho scritto quello.

No, sai solo che è positiva e minore di $1$:

$ sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})\cdot ...\cdot (1-\frac{k-1}{n}) < \sum_{k=2}^n frac{1}{k!} \le sum_{k=2}^n frac{1}{2^{k-1}} = sum_{h=1}^{n-1} frac{1}{2^h} = sum_{h=0}^{n-1} frac{1}{2^h} - 1 = $
$ = frac{1 - frac{1}{2^n}}{1- frac{1}{2}} - 1 = 1 - frac{1}{2^{n - 1}} $

Quindi si ha:

$ lim_{n to +\infty} sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})\cdot ...\cdot(1-\frac{k-1}{n}) < lim_{n to +\infty} (1 - frac{1}{2^{n - 1}}) = 1 $
pilloeffe
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 927 di 10549
Iscritto il: 07/02/2017, 15:45
Località: La Maddalena - Modena

Re: Numero di nepero

Messaggioda galles90 » 15/11/2017, 12:12

Ho fatto confusione :-) quando il mio libro mi ha fatto notare:
galles90 ha scritto:$ 2+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $
[/quote]
Dicendo le testuali parole:
"Da ciò segue che 2 è il minimo della successione in esame (tale valore viene assunto per n=1)...."
data la mia furbizia, ho interpretato tale scrittura, un modo per farmi vedere soltanto il minimo della successione, ma in realtà ha fatto notare che 2 è il minimo della successione, e in più ha esplicitato la successione, cosa che avevo già detto !!
Avatar utente
galles90
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 216 di 1796
Iscritto il: 17/10/2016, 17:56
Località: Salerno

Precedente

Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite