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ieri scrissi che questa quantità :

galles90 ha scritto:

galles90 ha scritto:$ 2+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $ tende a 2

in particolare la quantità $\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $ tende a zero, per n abbastanza grande. Per questo motivo ho scritto quello.

galles90 ha scritto:in particolare la quantità [...] tende a zero, per $n$ abbastanza grande. Per questo motivo ho scritto quello.

No, sai solo che è positiva e minore di $1$:

$ sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})\cdot ...\cdot (1-\frac{k-1}{n}) < \sum_{k=2}^n frac{1}{k!} \le sum_{k=2}^n frac{1}{2^{k-1}} = sum_{h=1}^{n-1} frac{1}{2^h} = sum_{h=0}^{n-1} frac{1}{2^h} - 1 = $
$ = frac{1 - frac{1}{2^n}}{1- frac{1}{2}} - 1 = 1 - frac{1}{2^{n - 1}} $

Quindi si ha:

$ lim_{n to +\infty} sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})\cdot ...\cdot(1-\frac{k-1}{n}) < lim_{n to +\infty} (1 - frac{1}{2^{n - 1}}) = 1 $

Ho fatto confusione quando il mio libro mi ha fatto notare:

galles90 ha scritto:$ 2+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $

[/quote]
Dicendo le testuali parole:
"Da ciò segue che 2 è il minimo della successione in esame (tale valore viene assunto per n=1)...."
data la mia furbizia, ho interpretato tale scrittura, un modo per farmi vedere soltanto il minimo della successione, ma in realtà ha fatto notare che 2 è il minimo della successione, e in più ha esplicitato la successione, cosa che avevo già detto !!