Si consideri l'ordinamento di Sharkovsky in $\mathbb{N}^\star:= \mathbb{N}\\{0\}$:
\[
1 < 2^2 < 2^3 < \dots < \dots < 2^3\cdot 7 < 2^3 \cdot 5 < 2^3 \cdot 3 < \dots < 2^2\cdot 7 < 2^2 \cdot 5 < 2^2 \cdot 3 < \dots < 7 < 5 < 3
\]
dove ho usato $<$ per indicare la relazione d'ordine perché il triangolo che volevo non funzionava (scelta infelice, ma spero si capisca lo stesso, non è da intendersi come il classico segno di "minore" ovviamente).
1) Provare che $<$ è un ordine totale.
2) $(\mathbb{N}^\star, <)$ è bene ordinato?
la mia soluzione è questa. 1) Sia $x\in\mathbb{N}^\star$, allora
- se $x$ pari, $x = (2k+1) 2^n$, $k\in\mathbb{N}, n\in\mathbb{N}^\star$
- se $x$ dispari, $x = 2k+1$, $k\in\mathbb{N}$
Presi ora $x, y\in\mathbb{N}^\star$, bisogna mostrare che è $x\diamond y$ oppure $y\diamond x$. Ho fatto tutti i casi: se $x, y$ sono pari ad esempio
\[
x = (2h+1) 2^n, h\in\mathbb{N}, n\in\mathbb{N}^\star\\
y = (2k+1) 2^m, k\in\mathbb{N}, n\in\mathbb{N}^\star
\]
e ho visto che vale la tesi per tutti le combinazioni di $h, k$ e $m, n$. Lo stesso nei casi in cui $x$ e $y$ siano uno pari e uno dispari o entrambi dispari (c'è meno lavoro).
2) Io direi che $(\mathbb{N}^\star, <)$ non è ben ordinato, in quanto il suo sottoinsieme
\[
A = \{ 2k+1: k\in\mathbb{N}^\star\} \ne \emptyset
\]
composto dai numeri naturali dispari strettamente maggiori di $1$, non ammette minimo secondo la relazione $<$. Infatti, per ogni $\bar{a}= 2\bar{k}+1\in A$ esiste $a\in A$ tale che $a < \bar{a}$, basta prendere $a = 2k+1$ con $k >\bar{k}$.
La mia soluzione, anche se fosse giusta, è sicuramente poco elegante ma non mi veniva in mente altro per ora
. Spero di non aver sparato troppe cavolate e vi ringrazio in anticipo per l'aiuto! 
