Dubbio esponenziali complessi

Messaggioda dRic » 17/11/2017, 16:24

Salve, non so come ma mi è venuto un dubbio assurdo su una cosa che ho sempre considerato banalissima:

$e^(2pii) = 1$

$e^(pii/3) = cos(pi/3)+isin(pi/3)$

Ma, scusate l'ignoranza, $e^(pii/3)$ non lo posso anche scrivere come $(e^(2pii))^(1/6) = (1)^(1/6) = 1 $ ?? MI sento stupido in questo momento...
dRic
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Re: Dubbio esponenziali complessi

Messaggioda pilloeffe » 17/11/2017, 16:39

Ciao dRic,

Non è che per caso stai riscoprendo le radici seste dell'unità, cioè le soluzioni dell'equazione $z^6 - 1 = 0 $ ? :wink:
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Re: Dubbio esponenziali complessi

Messaggioda dRic » 17/11/2017, 17:22

Ciao pilloeffe,

in effetti stavo appunto pensando a quello. Però allora mi sorge un dubbio, visto che ho la memoria un po' arrugginita su questo argomento: per soddisfare l'equazione $e^(2piix) = 1 $, $x$ può essere qualsiasi valore?? Perché un libro che sto leggendo dice che l'equazione $e^(2piix) = 1 $ impone che $x$ sia per forza un intero...
dRic
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Re: Dubbio esponenziali complessi

Messaggioda dissonance » 17/11/2017, 17:31

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Re: Dubbio esponenziali complessi

Messaggioda dRic » 17/11/2017, 17:41

@dissonance scusami, ma non ho capito. Nel senso, ho capito che quello che dico io è sbagliato (è ovvio), ma non ho capito come dimostrarne la fallacità
dRic
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Re: Dubbio esponenziali complessi

Messaggioda pilloeffe » 17/11/2017, 17:54

Facciamo riferimento al caso $z^6 = 1 $, poi estendere al caso di $n \ne 6 $ è abbastanza immediato.
Usando la rappresentazione polare $z = \rho e^{i\theta} $, si ha:

$\rho^6 e^{i 6\theta} = 1 = 1 e^{i (0 + 2k\pi)} $

Perciò si ha:
$rho^6 = 1 \implies rho = 1 $ (deve essere $\rho \ge 0 $)
$6 \theta = 0 + 2 k \pi \implies \theta = k \pi/3 $

ove $k = 0, 1, 2, 3, 4 $ e $5 $ (poi le soluzioni si ripetono).
Quindi le $6$ soluzioni nelle tre forme esponenziale, trigonometrica ed algebrica sono le seguenti:

$z_0 = 1 e^{i 0} = cos(0) + i sin(0) = 1 + i0 = 1$
$z_1 = 1 e^{i frac{\pi}{3}} = cos(frac{\pi}{3}) + i sin(frac{\pi}{3}) = 1/2 + i frac{sqrt{3}}{2} $
$z_2 = 1 e^{i frac{2\pi}{3}} = cos(frac{2\pi}{3}) + i sin(frac{2\pi}{3}) = - 1/2 + i frac{sqrt{3}}{2} $
$z_3 = 1 e^{i \pi} = cos(\pi) + i sin(\pi) = - 1 + i0 = - 1 $
$z_4 = 1 e^{i frac{4\pi}{3}} = cos(frac{4\pi}{3}) + i sin(frac{4\pi}{3}) = - 1/2 - i frac{sqrt{3}}{2} $
$z_5 = 1 e^{i frac{5\pi}{3}} = cos(frac{5\pi}{3}) + i sin(frac{5\pi}{3}) = 1/2 - i frac{sqrt{3}}{2} $
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Re: Dubbio esponenziali complessi

Messaggioda dRic » 17/11/2017, 18:04

Grazie @pilloeffe per la pazienza e la perizia, tuttavia questo procedimento mi era noto. Non riesco tuttavia a ricollegarlo al mio problema :(

Perché $e^(2kpii) = 1$ impone che $k$ sia intero quando posso vederlo come $(e^(2pii))^k$ che dovrebbe (almeno a me, pare) dare 1 per ogni $k$??
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Re: Dubbio esponenziali complessi

Messaggioda marco.ve » 17/11/2017, 19:00

Perchè la proprietà $e^(ab) = (e^a)^b$ valida per l'esponenziale reale non vale per quello complesso.
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Re: Dubbio esponenziali complessi

Messaggioda dRic » 17/11/2017, 19:31

@marco.ve puoi mandarmi un link dove posso trovare questa dimostrazione, perché sul mio vecchio libro di analisi 1 non l'ho trovata (ma andrò a riguardare)
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Re: Dubbio esponenziali complessi

Messaggioda dRic » 18/11/2017, 17:53

Ho finalmente capito/ricordato! grazie mille a tutti per avermi "indirizzato"!
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