Lebby ha scritto:Ciao ragazzi! Scusate se rispondo solo adesso.
Intanto grazie per le risposte (ho visto il video molto utile davvero)
Allora noi abbiamo solo introdotto la Teoria della Misura per definire tramite le misure sulle sigma-algebre dei Boreliani completate con l'insieme delle misure trascurabili, la Misura di Labesgue. Proprio grazie a quest' ultima abbiamo potuto quest'oggi introdurre l'Integrale di Labesgue. Da ciò che ho capito, in più dimensioni esso è molto più versatile di quello di Riemann perché funzioni numerabili sono molto più frequenti di quelle continue (soprattutto nel passaggio al limite in cui con Riemann dovevo integrare con i limiti ovvero usare integrali impropri o in senso generalizzato). Fin qua tutto ok! Il problema è che prima dell'orale avrò lo scritto e ad Ingegneria questo consiste principalmente nel risolvere integrali multipli anche piuttosto difficili senza troppo soffermarsi sulla teoria che permette l'utilizzo di certi teoremi/operatori di risoluzione. Ovviamente l'orale fa la differenza su chi ama la matematica e vuole cercare di capirne qualcosa o chi si accontenta di applicarla senza sapere bene quello che sta facendo.
Il mio problema attuale (sarà perché il professore li ha appena introdotti senza fare esempi concreti) sta nel capire come si Integra alla Labesgue.
Qualcuno sarebbe cosi gentile da farmi un esempio banale di un integrale definito svolto prima alla Riemann e poi alla Labesgue, con tutte le considerazioni sulle sigma-algebre e quindi sugli aperti del dominio?
Ve ne prego, mi sareste veramente di grandissimo aiuto. Vi ringrazio in anticipo per la vostra disponibilità
Se la funzione che stai integrando è integrabile anche secondo Riemann, allora l'integrale si calcola allo stesso modo dato che, come si dimostra, il valore dell'integrale di Riemann e dell'integrale di Lebesgue coincidono.
Ora, dato che una funzione è Riemann-integrabile se e solo se è continua in tutto il suo dominio eccetto che in un insieme trascurabile secondo Lebesgue (ovvero: se e solo se è continua
quasi ovunque) e dato che, solitamente, a uno scritto di Analisi II ti fanno integrare funzioni super regolari, nella pratica non cambierà un bel niente.
Diverso sarebbe se ti venisse chiesto di calcolare l'integrale di Lebesgue di una funzione non integrabile secondo Riemann, tipo $f(x)=\mathbb{1}_{\mathbb{Q}\cap [0,1]}$ (funzione di Dirichlet, un esempio standard). In tal caso non esiste un "metodo generale", né un set di tecniche standard come quelle che hai studiato in Analisi I per il calcolo degli integrali: in linea di principio, devi intuire quale può essere il valore dell'integrale e poi smanettare con la definizione per dimostrare che effettivamente quello è il valore giusto.