Bremen000 ha scritto:Giusto per completezza, questo è vero se il dominio di integrazione è compatto, classico esempio è $sin(x)/x$ in $(0, + \infty)$ che è integrabile secondo Riemann ma non secondo Lebesgue!
Beh, l'integrale di Riemann non è definito su intervalli illimitati, dove invece si usa l'integrale improprio di Riemann:
\[\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x:=\lim_{c\to+\infty}\int_a^{c}f(x)\,\mathrm{d}x \tag{$\star$}\]
In questo caso è diverso: come dici tu, ci sono funzioni integrabili in senso improprio su $[a,+\infty)$ secondo Riemann ma non integrabili su $[a,+\infty)$ secondo Lebesgue, il che è dovuto al fatto che - detto molto alla buona - l'integrale di Lebesgue si calcola sommando separatamente le "aree positive" e quelle "negative" e successivamente facendo la differenza:
\[\int_{[a,+\infty)}f\, \mathrm{d}x=\int_{[a,+\infty)}f^+\, \mathrm{d}x-\int_{[a,+\infty)}f^-\, \mathrm{d}x.\]
Nell'integrale improprio di Riemann, invece, si ha una compensazione tra "aree positive" e "aree negative" quando si calcola $\int_a^cf(x)"d"x$.
Un altro esempio è
\[f(x):=\sum_{h=1}^\infty\frac{(-1)^{h+1}}{h}\mathbb{1}_{[h-1,h)}(x).\]
L'integrale improprio di Riemann è
\[\lim_{c\to+\infty}\int_0^cf(x)\, \mathrm{d}x=\lim_{n\to+\infty}\int_0^n f(x)\, \mathrm{d}x=\sum_{h=1}^\infty \frac{(-1)^{h+1}}{h}\]
che è una serie convergente, mentre si ha
\[\int_{[0,+\infty)}f^+\, \mathrm{d}x=\sum_{h=0}^\infty \frac{1}{2h+1}=+\infty=\sum_{h=1}^\infty \frac{1}{2h}=\int_{[0,+\infty)}f^-\, \mathrm{d}x\]
per cui $f$ non è integrabile secondo Lebesgue.
Se poi l'integranda è non negativa, allora la $(\star)$ è vera anche se l'integrale è quello di Lebesgue (e in questo caso si tratta di un teorema, non di una definizione); da ciò si ha facilmente che se $f$ è integrabile secondo Riemann in senso improprio, allora è integrabile secondo Lebesgue (ma non viceversa).
