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Salve a tutti.
Sono studente in Ingegneria, frequento il corso di Analisi 2. Abbiamo introdotto la teoria della misura con un paradosso che dice che da una sfera in $mathbb(R) ^3$ è possibile dividerne il volume in parti e, con opportune rototraslazioni, a partire da queste, creare due Sfere di raggio pari alla prima. Riuscireste a darmi una dimostrazione intuitiva (e non troppo avanzata) dell'enunciato e spiegarmi in cosa consiste l'introduzione della $ sigma-alg $$ ebra $ per poter avere dei volumi (o superfici ecc) diciamo non "degeneri"?

La dimostrazione non è esattamente semplice, e la sua intrinseca impossibilità di essere costruttiva la rende poco intuitiva. Magari prova a googlare qualcosa che sia una esposizione divulgativa di BT e proviamo a vedere.

L'idea in poche parole è prendere un sottogruppo del gruppo delle rotazioni tridimensionali e usare opportuni suoi elementi (infiniti, e complicati da scrivere) per rompere la sfera in due parti che hanno lo stesso volume.

Tempo fa avevo trovato questo, che mi era sembrato interessante, inizia a parlare del paradosso circa al minuto 9:30, prima c'è un'introduzione, valuta un po' da solo se ascoltarla o no, il tutto ovviamente se non hai problemi con l'inglese dato che il video è in inglese (però tutto sommato si capisce abbastanza bene).

Ora la vera domanda: gli ingegneri fanno teoria della misura?? Me ne rallegro!

killing_buddha ha scritto:Ora la vera domanda: gli ingegneri fanno teoria della misura?? Me ne rallegro!

Ma non era De Marco che insegnava l'integrale di Henstock-Kurzweil agli ingegneri?

Delirium ha scritto:Ma non era De Marco che insegnava l'integrale di Henstock-Kurzweil agli ingegneri?

Non era ai fisici?

otta96 ha scritto:

Delirium ha scritto:Ma non era De Marco che insegnava l'integrale di Henstock-Kurzweil agli ingegneri?

Non era ai fisici?

Puo' essere

Ciao ragazzi! Scusate se rispondo solo adesso.
Intanto grazie per le risposte (ho visto il video molto utile davvero)

Allora noi abbiamo solo introdotto la Teoria della Misura per definire tramite le misure sulle sigma-algebre dei Boreliani completate con l'insieme delle misure trascurabili, la Misura di Labesgue. Proprio grazie a quest' ultima abbiamo potuto quest'oggi introdurre l'Integrale di Labesgue. Da ciò che ho capito, in più dimensioni esso è molto più versatile di quello di Riemann perché funzioni numerabili sono molto più frequenti di quelle continue (soprattutto nel passaggio al limite in cui con Riemann dovevo integrare con i limiti ovvero usare integrali impropri o in senso generalizzato). Fin qua tutto ok! Il problema è che prima dell'orale avrò lo scritto e ad Ingegneria questo consiste principalmente nel risolvere integrali multipli anche piuttosto difficili senza troppo soffermarsi sulla teoria che permette l'utilizzo di certi teoremi/operatori di risoluzione. Ovviamente l'orale fa la differenza su chi ama la matematica e vuole cercare di capirne qualcosa o chi si accontenta di applicarla senza sapere bene quello che sta facendo.
Il mio problema attuale (sarà perché il professore li ha appena introdotti senza fare esempi concreti) sta nel capire come si Integra alla Labesgue.
Qualcuno sarebbe cosi gentile da farmi un esempio banale di un integrale definito svolto prima alla Riemann e poi alla Labesgue, con tutte le considerazioni sulle sigma-algebre e quindi sugli aperti del dominio?
Ve ne prego, mi sareste veramente di grandissimo aiuto. Vi ringrazio in anticipo per la vostra disponibilità

Lebby ha scritto:Ciao ragazzi! Scusate se rispondo solo adesso.
Intanto grazie per le risposte (ho visto il video molto utile davvero)

Allora noi abbiamo solo introdotto la Teoria della Misura per definire tramite le misure sulle sigma-algebre dei Boreliani completate con l'insieme delle misure trascurabili, la Misura di Labesgue. Proprio grazie a quest' ultima abbiamo potuto quest'oggi introdurre l'Integrale di Labesgue. Da ciò che ho capito, in più dimensioni esso è molto più versatile di quello di Riemann perché funzioni numerabili sono molto più frequenti di quelle continue (soprattutto nel passaggio al limite in cui con Riemann dovevo integrare con i limiti ovvero usare integrali impropri o in senso generalizzato). Fin qua tutto ok! Il problema è che prima dell'orale avrò lo scritto e ad Ingegneria questo consiste principalmente nel risolvere integrali multipli anche piuttosto difficili senza troppo soffermarsi sulla teoria che permette l'utilizzo di certi teoremi/operatori di risoluzione. Ovviamente l'orale fa la differenza su chi ama la matematica e vuole cercare di capirne qualcosa o chi si accontenta di applicarla senza sapere bene quello che sta facendo.
Il mio problema attuale (sarà perché il professore li ha appena introdotti senza fare esempi concreti) sta nel capire come si Integra alla Labesgue.
Qualcuno sarebbe cosi gentile da farmi un esempio banale di un integrale definito svolto prima alla Riemann e poi alla Labesgue, con tutte le considerazioni sulle sigma-algebre e quindi sugli aperti del dominio?
Ve ne prego, mi sareste veramente di grandissimo aiuto. Vi ringrazio in anticipo per la vostra disponibilità

Se la funzione che stai integrando è integrabile anche secondo Riemann, allora l'integrale si calcola allo stesso modo dato che, come si dimostra, il valore dell'integrale di Riemann e dell'integrale di Lebesgue coincidono.

Ora, dato che una funzione è Riemann-integrabile se e solo se è continua in tutto il suo dominio eccetto che in un insieme trascurabile secondo Lebesgue (ovvero: se e solo se è continua quasi ovunque) e dato che, solitamente, a uno scritto di Analisi II ti fanno integrare funzioni super regolari, nella pratica non cambierà un bel niente.

Diverso sarebbe se ti venisse chiesto di calcolare l'integrale di Lebesgue di una funzione non integrabile secondo Riemann, tipo $f(x)=\mathbb{1}_{\mathbb{Q}\cap [0,1]}$ (funzione di Dirichlet, un esempio standard). In tal caso non esiste un "metodo generale", né un set di tecniche standard come quelle che hai studiato in Analisi I per il calcolo degli integrali: in linea di principio, devi intuire quale può essere il valore dell'integrale e poi smanettare con la definizione per dimostrare che effettivamente quello è il valore giusto.

Plepp ha scritto:Se la funzione che stai integrando è integrabile anche secondo Riemann, allora l'integrale si calcola allo stesso modo dato che, come si dimostra, il valore dell'integrale di Riemann e dell'integrale di Lebesgue coincidono.

Giusto per completezza, questo è vero se il dominio di integrazione è compatto, classico esempio è $sin(x)/x$ in $(0, + \infty)$ che è integrabile secondo Riemann ma non secondo Lebesgue!

P.S. : mi sono reso conto del’ “anche” nella frase citata, che cambia tutto. Be’ allora la mia rimane un’osservazione che in generale Riemann-integrabile non implica Lebesgue-integrabile!