Esercizio teorico limite di funzione

[daenerys]

Salve, ho quest'esercizio:

Dimostra o confuta:
Se $ f: R-> R$ è tale che

$ lim_(x -> +∞) |f(x)|= +∞ => lim_(x->+∞) f(x) = +∞ $ oppure $lim_(x->+∞) f(x)= -∞$

La stessa cosa poi è da dimostrare se la f iniziale $ f: R-> R$ è continua

Allora io sono partita dalla definizione e quindi ottengo:
$ AA N>0 , EE M>0 $ tale che se $x>M$ allora $|f(x)| > N$

da cui quindi si ha la definizione per la $lim_(x->+∞) f(x) = +∞$ però ho anche che f(x) < -N e da qui come posso ricondurmi al caso $-∞$?

[anto_zoolander]

Per la prima non è detto.
Prendi l’insieme $A={x inRR: 2kleqx<2k+1,k inZZ}$
Chiaramente $A=bigcup_(k inZZ)[2k,2k+1)$ e definiamo:

$f(x):={(x if x inA),(-x if x inRRsetminusA):}$

Chiaramente $|f(x)|=x, forallx inRR$ e $|f| ->+infty$ ma $f$ non ammette nemmeno limite per $x->+infty$
Quindi se $f$ non è continua, in generale non vale questa cosa.
(è la prima funzione che mi è venuta in mente, ma ce ne saranno tante)


Come cambia la cosa se $f$ è continua in $RR$?

[daenerys]

Allora, per il fatto che f(x) non abbia limite per x tendente ad infinito, è perché avrebbe due valori distinti?
Per la continuità non so come ragionare..

[anto_zoolander]

Prima di continuare

Conosci la proposizione che dice:
sia $f:A->RR$ una funzione con $AsubsetRR$ e sia $x_0 inA$ di accumulazione e sia $BsubsetA$ tale $x_0$ è di accumulazione per $B$

$exists l inRR: lim_((x->x_0),(x inA))f(x)=l=> lim_((x->x_0),(x inB))f(x)=l$

Ovvero se una funzione ammette limite in un punto di accumulazione del dominio, allora ogni restrizione a un sottoinsieme del dominio che ammette lo stesso punto di accumulazione, ammette lo stesso limite.

Questo significa che se due restrizioni ammettono un limite diverso allora $f$ non ammette limite in quel punto.
E abbiamo dimostrato questo: che $f$ ammette due limiti diversi a $+infty$ nelle restrizioni $A,RRsetminusA$