Funzione con logaritmo ed argomento in modulo

[alemar05]

Ciao a tutti, mi servirebbe una mano con la seguente funzione
$ f(x)=logabs(2e^(2x)-e^x-1) $
Come faccio ad eliminare il modulo? Mi spiego meglio. Se ho $ abs(x-1)={ ( x-1 ),( 1-x ):} $
In questo caso cosa dovrei fare?

[anto_zoolander]

Porre $y=e^x$ ricordato che la funzione esponenziale è invertibile.

$2y^2-y-1=2(y-1)(y+1/2)$

Ovvero $2e^(2x)-e^x-1=2(e^x-1)(e^x+1/2)$

Da qui sapresti continuare?

[AnalisiZero]

Poni come ti è già stato detto $e^x=t$ . Ottieni una semplice disequazione di 2 grado. Ricorda poi che alla fine devi ottenere la soluzione in $x$ e non in $t$.

[alemar05]

Si, grazie. Il mio unico dubbio era questo
Dunque la funzione dovrebbe diventare così:
$ log(2e^(2x)-e^x-1) $ se $ x<-1/2 $ e $ x>1 $
$ log(-2e^(2x)+e^x+1) $ se $ -1/2<= x<= 1 $
Giusto?

[pilloeffe]

Ciao alemar05,

Giusto?

No, sbagliato. Proseguendo dall'ottimo suggerimento di anto_zoolander, in sostanza si deve vedere quando

$(e^x - 1)(2e^x + 1) > 0 $

Siccome il secondo fattore è sempre positivo, perché $e^x > 0 qquad \AA x \in \RR $, il tutto si riduce a vedere quando il primo fattore è positivo, cioè quando $e^x > 1 \implies e^x > e^0 \implies x > 0 $. Per cui si ha:

$ f(x) = {(log(2e^(2x)-e^x-1) text{ se } x > 0),(log(- 2e^(2x)+e^x+1) text{ se } x < 0):} $

[alemar05]

Ciao alemar05,

Giusto?

No, sbagliato. Proseguendo dall'ottimo suggerimento di anto_zoolander, in sostanza si deve vedere quando

$(e^x - 1)(2e^x + 1) > 0 $

Siccome il secondo fattore è sempre positivo, perché $e^x > 0 qquad \AA x \in \RR $, il tutto si riduce a vedere quando il primo fattore è positivo, cioè quando $e^x > 1 \implies e^x > e^0 \implies x > 0 $. Per cui si ha:

$ f(x) = {(log(2e^(2x)-e^x-1) text{ se } x > 0),(log(- 2e^(2x)+e^x+1) text{ se } x < 0):} $

Grazie molte, sei stato chiarissimo

[anto_zoolander]

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ormai io e piloeffe siamo una cosa sola