Somma e somma parziale

[Papercut]

Ciao a tutti, ho un piccolo dubbio per quanto riguarda appunto la somma e somma parziale di una serie.
So bene che la somma parziale è la somma dei primi n termini della successione di termine generale a_n.
Il problema viene con il concetto di somma, nel senso, cosa si intende per somma? Il dubbio sta proprio nel fatto che una somma infinita non ha senso, e dunque quando ad esempio nei teoremi come quello di CONVERGENZA PER LE SERIE ALTERNATE ritrovo: ...detta s la somma, s_n la ridotta n-sima, si ha $ |s_n-s| <=a_(n+1) $ proprio non so che significato dare a quella s.
La mia ipotesi è che s sia la somma parziale s_n con n grande e quindi infinito, ovvero in parole povere s è il limite per n che tende ad infinito di s_n. È giusto? Grazie a tutti in anticipo!

[killing_buddha]

In presenza di una topologia che permetta di darglielo, tante somme infinite hanno senso: data una successione $(a_n)$ di elementi di un monoide topologico commutativo $(M,+)$, ovvero una funzione \(a_\bullet : \mathbb N\to M\), si dice che "la serie di termine generale $a_n$ converge" se la successione \(S_N := \sum_{k=k0}^N a_k\) converge in $M$.

[Papercut]

Non ne capisco il senso. Ad esempio nella dimostrazione della condizione necessaria di convergenza di una serie, con s viene indicata appunto questa "somma", si vede bene che con quel s viene indicato proprio il passaggio a limite.
La mia domanda allora diventa, nel caso si trattasse di una somma infinita, cosa rappresenta la notazione precedente?

[killing_buddha]

Il limite di una successione, te l'ho detto la topologia ti permette di dare senso a somme infinite.

[Papercut]

Il limite della successione somme parziali intendi?

[killing_buddha]

Oh madonna, sì! Te l'ho già detto due volte!

[Papercut]

Ma era quello che ho supposto dall'inizio! C'è stato un errore di comprensione. Ad ogni modo grazie mille!

[dissonance]

@Papercut: per come poni la questione hai ragione, non puoi dire che \(s\) è la somma di una serie senza avere prima dimostrato che tale somma esiste, ovvero, che esista il limite delle somme parziali (come dice k.b.). È a questo che serve il criterio di convergenza di Cauchy e il criterio di convergenza delle successioni monotone: per prima cosa uno verifica, usando uno di questi criterio, che la somma esiste. E poi può farci quello che vuole con la somma.

Nel caso delle serie alternate, si può usare il criterio delle successioni monotone, perché le somme parziali hanno l'estratta pari crescente e quella dispari decrescente (o al contrario, a seconda del segno del primo termine). E quindi entrambe ammettono limite. Poi bisogna dimostrare che i due limiti sono uguali e che è l'intera successione delle somme parziali a convergere, non solo le estratte pari e dispari. Fatto questo, si è dimostrato che la somma esiste, la si può chiamare \(s\) (come in quello che stai leggendo) e stimarla come si crede.

[Papercut]

Grazie mille, chiarissimo