Buonasera,
Determinare dominio di $f$,
sia \(\displaystyle f(x)=\sqrt{log_{sen^{k+1}x}(log(x-3))} \)
Il risultato è \(\displaystyle R=(4,3+e] \) se \(\displaystyle k \) è dispari; invece se \(\displaystyle k \) è pari \(\displaystyle R=\emptyset \)
L'imposto nella seguente maniera
\(\displaystyle \begin{cases} log_{sen^{k+1}x}(log(x-3)) \ge 0 \\ x-3>0 \\ log(x-3) >0 \end{cases} \)
cambiamento di base, ottengo
\(\displaystyle \begin{cases} \tfrac {log(log(x-3))}{log(sen^{k+1}x)} \ge 0 \\ x-3>0 \\ log(x-3) >0 \end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} \tfrac {log(log(x-3))}{log(sen^{k+1}x)} \ge 0 \\ x>3 \\ x >4 \end{cases} \)
invece per la prima, considerando che è una disequazione fratta, ottengo
\(\displaystyle \begin{cases} N\ge 0 : log(log(x-3))\ge 0 \\ D>0 : log(sen^{k+1}x)>0 \end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} N\ge 0 : log(x-3)\ge 1 \\ D>0 : sen^{k+1}x>1 \end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} N\ge 0 : x-3\ge 10 \\ D>0 : \not\exists x \in \mathbb{R} \end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} N\ge 0 : x\ge 13 \\ D>0 : \not\exists x \in \mathbb{R} \end{cases} \)
in conclusione (regola dei segni), ho
\(\displaystyle \begin{cases} x \le 13 \\ x>3 \\ x >4 \end{cases} \)
ne segue
Cordiali saluti
\(\displaystyle \begin{cases} 4<x \le 13 : x \in \mathbb{R} \\ \end{cases} \)