Dominio di funzione

[galles90]

Buonasera,

Determinare dominio di $f$,
sia \(\displaystyle f(x)=\sqrt{log_{sen^{k+1}x}(log(x-3))} \)
Il risultato è \(\displaystyle R=(4,3+e] \) se \(\displaystyle k \) è dispari; invece se \(\displaystyle k \) è pari \(\displaystyle R=\emptyset \)
L'imposto nella seguente maniera

\(\displaystyle \begin{cases} log_{sen^{k+1}x}(log(x-3)) \ge 0 \\ x-3>0 \\ log(x-3) >0 \end{cases} \)

cambiamento di base, ottengo

\(\displaystyle \begin{cases} \tfrac {log(log(x-3))}{log(sen^{k+1}x)} \ge 0 \\ x-3>0 \\ log(x-3) >0 \end{cases} \)

\(\displaystyle \begin{cases} \tfrac {log(log(x-3))}{log(sen^{k+1}x)} \ge 0 \\ x>3 \\ x >4 \end{cases} \)

invece per la prima, considerando che è una disequazione fratta, ottengo

\(\displaystyle \begin{cases} N\ge 0 : log(log(x-3))\ge 0 \\ D>0 : log(sen^{k+1}x)>0 \end{cases} \)

\(\displaystyle \begin{cases} N\ge 0 : log(x-3)\ge 1 \\ D>0 : sen^{k+1}x>1 \end{cases} \)

\(\displaystyle \begin{cases} N\ge 0 : x-3\ge 10 \\ D>0 : \not\exists x \in \mathbb{R} \end{cases} \)

\(\displaystyle \begin{cases} N\ge 0 : x\ge 13 \\ D>0 : \not\exists x \in \mathbb{R} \end{cases} \)

in conclusione (regola dei segni), ho

\(\displaystyle \begin{cases} x \le 13 \\ x>3 \\ x >4 \end{cases} \)

ne segue

Cordiali saluti
\(\displaystyle \begin{cases} 4<x \le 13 : x \in \mathbb{R} \\ \end{cases} \)

[mic999]

Buonasera,

Determinare dominio di $f$,
sia \(\displaystyle f(x)=\sqrt{log_{sen^{k+1}x}(log(x-3))} \)
Il risultato è \(\displaystyle R=(4,3+e] \) se \(\displaystyle k \) è dispari; invece se \(\displaystyle k \) è pari \(\displaystyle R=\emptyset \)
L'imposto nella seguente maniera
....
\(\displaystyle \begin{cases} N\ge 0 : x-3\ge 10 \\ D>0 : \not\exists x \in \mathbb{R} \end{cases} \)

...

è sbagliato qui: siccome il logaritmo è in base $e$ e non $10$ dovresti correggere quello che hai scritto ed ho citato in questo modo:
\begin{cases} N\ge 0 : x-3\ge e \\ D>0 : \not\exists x \in \mathbb{R} \end{cases} \
così facendo trovi il risultato corretto.

[orsoulx]

Permettetemi due osservazioni:
1) quel dominio è, quasi, corretto se nel testo viene precisato $ k \in NN $, perché, utilizzando la consueta posizione $ k in ZZ $, con $ k $ negativo le cose cambiano drasticamente;
2) la base di un logaritmo deve essere diversa da $1 $ e quindi $ x=3/2 pi$ deve essere escluso dal dominio.
Ciao

[galles90]

Buonasera,
grazie ad entrambi per le risposte.
mic999,

quando ho effettuato la trasformazione, ho scelto il logaritmo decimale. Non è arbitraria la scelta della trasformazione?

orsulux,

ho notato anch'io queste osservazioni, in più \(\displaystyle x\ne \tfrac{3\pi}{2} \) considerando \(\displaystyle k \) dispari, invece se \(\displaystyle k \) è pari dobbiamo escludere \(\displaystyle x=\tfrac{\pi}{2} \)?

cordiali saluti

[orsoulx]

invece se $ k$ è pari dobbiamo escludere $x=\pi/2$?

Se $ k $ è pari (e non negativo) hai già dimostrato che il dominio è l'insieme vuoto, dunque non c'è nulla da togliere.
Ciao

[mic999]

Buonasera,
grazie ad entrambi per le risposte.
mic999,

quando ho effettuato la trasformazione, ho scelto il logaritmo decimale. Non è arbitraria la scelta della trasformazione?

orsulux,

ho notato anch'io queste osservazioni, in più \(\displaystyle x\ne \tfrac{3\pi}{2} \) considerando \(\displaystyle k \) dispari, invece se \(\displaystyle k \) è pari dobbiamo escludere \(\displaystyle x=\tfrac{\pi}{2} \)?

cordiali saluti

Non è arbitraria la scelta! per poter passare alle uguaglianze sugli argomenti devi avere logaritmi con la stessa base!

[orsoulx]

per poter passare alle uguaglianze sugli argomenti devi avere logaritmi con la stessa base!

Affermazione corretta, ma, a mio avviso, priva di conseguenze in questo esercizio; mic99 può scegliere la base che preferisce, il risultato dipende solo dal $log(x-3) $ che compare nel testo: se quello è un logaritmo naturale si arriva ad un risultato, se, invece, è un logaritmo a base dieci le cose cambiano. Costerebbe poco usare la notazione $ ln(x) $.
Fra l'altro non era necessario ricorrere al cambiamento di base: un logaritmo è negativo quando la base e l'argomento stanno da parti opposte rispetto ad $ 1 $.
Ciao

[galles90]

Buonasera,
ho provato a riportare su http://www.youmath.it/ym-tools-calcolat ... nline.html ; l'impostazione è uguale alla mia.
Non riesco a capire da dove viene fuori \(\displaystyle e \).
Ho provato anche ad applicare, prima questa \(\displaystyle a^{log_a (b)} \) per poi ricondurmi a questa \(\displaystyle[f(x)]^{g(x)} \), ma con effetti uguali, cioè mi ritrovo sempre quel 13. Giustamente è la stessa cosa dite voi, però data la mia furbizia, tutto è possibile.

Ciao

[orsoulx]

Non riesco a capire da dove viene fuori $e$.

Nel procedimento, qualsiasi esso sia, arrivi arrivi a considerare una diseguaglianza fra $ log(x-3) $ (logaritmo che compariva già nel testo) e $ 1 $. Se quel logaritmo è un logaritmo naturale 'viene fuori' il famigerato $ e $ e le soluzioni che riporti sono (quasi) corrette. Se, invece, quel logaritmo è decimale le cose cambiano notevolmente. Visto che ti piacciono i solutori automatici, prova a dargli in pasto il logaritmo in base 10 e vedi cosa succede.
Ciao

[galles90]

Ciao,
orsoulx quando dici che sono quasi corrette, ti riferisci al fatto che dovrei risolvere il seguente sistema
\(\displaystyle \begin{cases} log(x-3)>0 \\ sen^{k+1}x\ne 1 \\ sen^{k+1}x>0 \end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} x>4\\ x\ne \tfrac{\pi}{2}+2k\pi \\ 2k\pi<x<\pi+2k\pi \end{cases} \)
per poi aggiungerle alle altre.

Giusto ?