Formule Machin e calcolo di Pigreco con 3 arcotangenti

[Pigreco2016]

Ho capito come ricavare la formula di Machin $\pi/4 = 4tan^{-1}(1/5)-tan^{-1}(1/239)$.
Nel libro ho trovato anche un'equazione dovuta a Gauss per quanto riguarda $\pi$:
$\pi/4= 12tan^{-1}(1/18) +8tan^{-1}(1/57)-5tan^{-1}(1/239) $.
Qualcuno può mostrarmi il procedimento per arrivarci? Ho già provato a sommare altre identità con $\pi/4$ e ad utilizzare uguaglianze tra arcotangenti però non riesco ad arrivarci. Gauss come ha fatto a scoprirla?

[dissonance]

Non so se questa vecchia discussione è utile:

viewtopic.php?f=3&t=34992

[Pigreco2016]

Non mi interesssa calcolare le cifre di Pigreco. Sono interessato al ragionamento di Gauss per ottenere questa identità.

[pilloeffe]

Ciao Pigreco2016,

Beh, non sono nella mente di Gauss (anche perché altrimenti due o tre cosette me le farei spiegare... ), ma credo che l'idea sia considerare

$(18 + i)^12 (57 + i)^8 (239 - i)^5 = 325^6 3250^4 169^5 4 (1 + i) $

L'identità richiesta si ottiene usando la forma polare dei numeri complessi che compaiono nell'uguaglianza:

$325^6 e^{i 12 arctan(1/18)} 3250^4 e^{i 8 arctan(1/57)} 169^5 (sqrt{2})^5 e^{- i 5 arctan(1/239)} = 325^6 3250^4 169^5 4 sqrt{2} e^{i arctan 1} = $
$ = 325^6 3250^4 169^5 4 sqrt{2} e^{i \pi/4} \implies e^{i [12 arctan(1/18) + 8 arctan(1/57) - 5 arctan(1/239)]} = e^{i \pi/4} $

da cui

$ pi/4 = 12 arctan(1/18) + 8 arctan(1/57) - 5 arctan(1/239) $

come volevasi dimostrare.

[dissonance]

@pilloeffe:

[pilloeffe]

Grazie dissonance, i tuoi applausi per me sono un grande onore...

[Pigreco2016]

Non avrei mai pensato di iniziare il ragionamento con quella identità Grazie mille algebricamente non mi spinge ad indagare più a fondo sulla risoluzione, geometricamente invece la cosa mi incuriosisce di più

[pilloeffe]

Grazie mille

Prego!

geometricamente invece la cosa mi incuriosisce di più

Per questo magari inizierei con quelle con numeri più semplici. Risulta infatti che di tali formule ve ne siano infinite: la velocità di convergenza varia da una formula all'altra. Di seguito le $10$ più note, dovute a Machin, Eulero, Gauss ed altri:

$ pi/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239) $

$ pi/4 = 2 arctan(1/3) - arctan(1/7) $

$ pi/4 = 5 arctan(1/3) + 2 arctan(3/79) $

$ pi/4 = arctan(1/2) + arctan(1/5) + arctan(1/8) $

$ pi/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/70) + arctan(1/99) $

$ pi/4 = 4 arctan(1/5) - 2 arctan(1/408) + arctan(1/1393) $

$ pi/4 = 6 arctan(1/8) + 2 arctan(1/57) + arctan(1/239) $

$ pi/4 = 12 arctan(1/18) + 8 arctan(1/57) - 5 arctan(1/239) $

$ pi/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/240) - arctan(1/57361) $

$ pi/4 = arctan(1/4) + arctan(1/5) + arctan(1/12) + arctan(1/13) + arctan(5/27) $