Successione definita per ricorrenza.

[pilloeffe]

Aspetta...
Mi è venuto in mente che l'ho già vista in Elettronica III... Quello è un algoritmo per il calcolo della radice quadrata di un numero $p$ e si ha:

$lim_{n \to +\infty} a_n = sqrt{p} $

Guarda qui: https://it.wikipedia.org/wiki/Metodi_per_il_calcolo_della_radice_quadrata

[galles90]

Ottimo, ora do un'occhiata !!
Thanks

[gugo82]

Certo...

Ma prova a fare da solo!
Poi, casomai non riesci dai un'occhiata.

[galles90]

Buongiorno,
il mio problema di fondo è capire il senso dei passaggi, per poter confermare che la successione abbia limite.

Ora riporto passo per passo, la risoluzione dell'esercizio che si trova sul mio libro di testo. Indicherò i vari passaggi che affronta, per poi riportare il mio significato "sperando che sia corretto"
Comincio:

Sia \(\displaystyle p>0 \), e sia la successione \(\displaystyle a_n \) definita da:
\(\displaystyle \begin{cases} a_1=a>\sqrt{p} \\ a_{n+1}=\tfrac{a_n^2+p}{2a_n}\end{cases} \)

1 Dimostriamo che $a_n >0$. Questo è vero considerando $a_1$, se si suppone vero per \(\displaystyle a_n \), si ha \(\displaystyle a_{n+1}=\tfrac{a_n^2+p}{2a_n}>0 \) dato che il numeratore e denominatore sono ambedue positivi, per P.I. si ha \(\displaystyle a_n>0 ; \forall n \in\mathbb{N} \).

2 D'altra parte si ha \(\displaystyle a_{n+1}^2>p \) per ogni intero n.
Infine la successione \(\displaystyle a_n \) è decrescente, in quanto risulta
\(\displaystyle a_{n+1}-a_n<0 \); visto che, come abbiamo dimostrato \(\displaystyle a_n>0 \) e \(\displaystyle a_n^2>p\).

3 La successione ha limite \(\displaystyle a_n \) ha limite \(\displaystyle l \), quindi
\(\displaystyle lim_n a_{n+1}=l \to lim_n \tfrac{a_n^2+p}{2a_n}=\tfrac{l^2+p}{2l}\)
allora si ha :\(\displaystyle l=\tfrac{l^2+p}{2l}\to l=\sqrt{p} \).

Il primo passaggio, cioè 1; lo fa per garantire che ogni termine \(\displaystyle n \) risulti positivo, quindi in particolare anche il termine \(\displaystyle a_{n+1}>0 \), allora anche \(\displaystyle a_{n+1}>\sqrt{p} \).

Secondo passaggio, forse questo punto può essere dedotto dal primo passaggio, ovvero garantisce che la differenza tra \(\displaystyle \displaystyle a_{n+1}-\sqrt{p}>0 \) ed è vero.
Infine fa vedere che la successione è decrescente, quindi per il teorema sulle successione monotone, il quale garantisce che una successione monotona ha limite, dove può essere finito o infinito, in sostanza il limite c'è. E' lo denota con \(\displaystyle l \).

Terzo passaggio, questo non mi è molto chiaro, cioè lui assume che la funzione è continua... e come fa ?

[galles90]

Come sono andato ??

[pilloeffe]

La risposta non la devi cercare fuori, la risposta è dentro di te epperò è... sbagliaaata !
(cit. da Quelo - Corrado Guzzanti - https://www.youtube.com/watch?v=WGQ7JZRZ65M)
Scherzi a parte, provo a spiergartela a modo mio, poi magari mi dici che cosa non ti è chiaro.
Partiamo dalla definizione:

\( \displaystyle \displaystyle
\begin{cases} a_1=a>\sqrt{p} \\
a_{n+1}=\tfrac{a_n^2+p}{2a_n}
\end{cases} \)

Il punto 1 è corretto, per cui possiamo dare per assodato che $a_n > 0 qquad \AA n \in \NN_{>0} $ (qui c'è una lieve imprecisione dovuta al fatto che la successione non è definita per $n = 0 $, per cui non è $\NN $, ma come scritto $ \NN_{>0} $).
Detto ciò, considera la funzione $f(x) $ corrispondente definita nel modo seguente:

$f(x) := frac{x^2 + p}{2x} $

con $x > 0 $. Si vede subito che tale funzione è continua nel suo dominio, ed è definita in tutto $\RR $ fatta eccezione per il punto $x = 0 $, che però non ci disturba perché per noi come abbiamo già scritto si ha $ x > 0 $. La derivata di tale funzione è la seguente:

$f'(x) = frac{4x^2 - 2(x^2 + p)}{4x^2} = frac{2x^2 - 2p}{4x^2} = frac{x^2 - p}{2x^2} $

Quindi $f'(x) > 0 $ per $x > sqrt{p} $ e dunque la funzione in $x = sqrt{p} $ ha un punto di minimo $M(sqrt{p}, sqrt{p}) $. Il valore $ sqrt{p}$ è assunto dalla funzione soltanto quando $x = sqrt{p} $ e poi per $ x > sqrt{p} $ è sempre maggiore. Da quanto detto segue che

$a_{n + 1} \ge sqrt{p} \implies 1/a_{n + 1} \le 1/sqrt{p} \implies p/a_{n + 1} \le p/sqrt{p} = sqrt{p} $

Questo significa che, preso un valore iniziale $a_1 = a > sqrt{p} > 0 $, tutti gli altri valori da $a_1 $ compreso in poi non potranno essere inferiori a $sqrt{p} $. Quindi si ha:

$ p/a_{n + 1} \le sqrt{p} \le a_{n + 1} \implies a_{n + 1}^2 \ge p $

che vale $\AA n $. Ora dalla definizione si ha:

$ a_{n+1} = frac{a_n^2+p}{2a_n} \implies a_{n+1} - a_n = frac{a_n^2+p}{2a_n} - a_n = frac{a_n^2+p - 2a_n^2}{2a_n} = frac{p - a_n^2}{2a_n} \le 0 $

perché abbiamo appena dimostrato che $ a_{n}^2 \ge p \qquad \AA n \in \NN_{> 0} $ e d'altronde $a_n > 0 $. Ma allora $a_{n+1} \le a_n $ e quindi la successione è decrescente e compresa fra i valori $sqrt{p}$ e $a_1 = a > sqrt{p}$, pertanto è limitata. Poiché una successione monotona converge se e solo se è limitata, esiste un valore $ l \ge sqrt{p} $ al quale la successione proposta converge. Ora, considerando che la funzione $f(x) $ è continua, per definizione di continuità il valore $l$ del suo limite è pari al valore della funzione calcolata in $ x = l $, cioè $l = frac{l^2 + p}{2l} \implies l = sqrt{p} $. D'altronde si ha:

$a_{n + 1} - sqrt{p} = a_{n + 1} - a_n + a_n - sqrt{p} = frac{p - a_n^2}{2a_n} + a_n - sqrt{p} = 1/2(p/a_n - a_n) + a_n - sqrt{p} \le $
$ \le 1/2(sqrt{p} - a_n) + a_n - sqrt{p} = frac{a_n - sqrt{p}}{2}$

Applicando ricorsivamente la disuguaglianza appena trovata $a_{n + 1} - sqrt{p} \le frac{a_n - sqrt{p}}{2}$
si trova:

$a_{n + 1} - sqrt{p} \le 1/2 (a_n - sqrt{p}) \le 1/2^2 (a_{n - 1} - sqrt{p}) \le ... \le 1/2^n (a_{1} - sqrt{p}) = frac{a - sqrt{p}}{2^n} > 0 $

e quindi $\AA \epsilon > 0 $ esiste un $\bar n : \AA n \ge \bar n $ si ha:

$ a_{n + 1} - sqrt{p} \le frac{a - sqrt{p}}{2^n} < epsilon $

che dimostra la convergenza della successione a $ sqrt{p} $.

[dissonance]

La risposta non la devi cercare fuori, la risposta è dentro di te epperò è... sbagliaaata !
(cit. da Quelo - Corrado Guzzanti - https://www.youtube.com/watch?v=WGQ7JZRZ65M)

Che grande Corrado Guzzanti

[galles90]

Ahahahah grande Guzzanti non lo conoscevo.

Mi dispiace che hai dovuto fare tutto questo, ma le derivate non l'ho ancora fatte sono arrivato alla nozione di limite.

Ciao

[pilloeffe]

Mi dispiace che hai dovuto fare tutto questo

No problem, ci divertiamo così...

le derivate non l'ho ancora fatte

Beh, con le derivate è più veloce, ma in realtà è possibile capire che quella funzione ha un minimo anche senza le derivate... Dai un'occhiata qui.

$f(x) := frac{x^2 + p}{2x} = 1/2(x + p/x) $

per cui si tratta della media aritmetica $A$ fra $x$ e $p/x $ e sappiamo che

$G \le A \le Q $

ove $ G $ è la media geometrica e $Q $ è la media quadratica e nel nostro caso si ha:

$G = sqrt{x \cdot p/x} = sqrt{p} $

$Q = sqrt{frac{x^2 + p^2/x^2}{2}} = sqrt{frac{x^4 + p^2}{2x^2}} = 1/x sqrt{frac{x^4 + p^2}{2}} $

ove naturalmente si è tenuto conto che $x > 0 $. Quindi in definitiva si ha:

$sqrt{p} \le f(x) \le 1/x sqrt{frac{x^4 + p^2}{2}} $

ove il segno di uguaglianza vale se e solo se $x = p/x \implies x = sqrt{p} $ ed in tal caso si ha:

$sqrt{p} = f(sqrt{p}) = 1/sqrt{p} sqrt{frac{p^2 + p^2}{2}} \implies f(sqrt{p}) = sqrt{p} \implies M(sqrt{p}, sqrt{p}) $

[galles90]

Ciao pilloeffe, ottimo mi sei piaciuto
In sostanza dobbiamo vedere la successione racchiusa tra due insiemi ?
Ma in quel caso il valore \(\displaystyle M\) dovrebbe coincidere anche con il massimo della successione