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Buonasera,

Sia $p>0$, consideriamo la successione $a_n$ definita da:
\(\displaystyle \begin{cases} a_1=a>\sqrt{p} \\ a_{n+1}=\tfrac{1}{2}(a_n+\tfrac{p}{a_n})=\tfrac{a_n^2+p}{2a_n}\end{cases} \)
Il mio blocco principale è, non so proprio da dove cominciare.
Mi spiego meglio, ho fatto un giro sul web, e ho visto che non ci sono metodi generali per risolvere le successioni definite per ricorrenza, ma credo almeno un'impostazione su i passi penso che c'è sia, ovvero un filo logico da seguire.

Se devo riportate la risoluzione dell'esercizio ditemelo, modifico il post e l'aggiungo.

Cordiali saluti.

Ciao galles90,

La seconda è un'equazione alle differenze che rappresenta la formulazione discreta della controparte continua, costituita dalle equazioni differenziali ordinarie (ODE). La soluzione è la seguente:

$a_n = - i sqrt{p} cot(c 2^n) $

ove $c$ è una costante arbitraria. La prima equazione ti serve per trovare il valore di $c$.

Ciao pilloeffe !!
Sono + o - le stesse domande che mi faccio anch'io... comunque penso, che la prima equazione serve per garantire che ogni termine sia positivo, ovvero per provarlo bisogna procedere per induzione. Pero di questo non ne sono molto convinto, per questo ho aperto la seguente discussione
Invece per l'altro post ....ci sono, domani la rileggo la dimostrazione ma è tutto ok, a parte qualche dubbio ma niente di grave

Si ha:

$a_1 = a = - i sqrt{p}cot(2c) \implies a/sqrt{p} = - i cot(2c) \implies frac{i a}{sqrt{p}} = cot(2c) \implies 2c = cot^{- 1}(frac{i a}{sqrt{p}}) \implies $
$\implies c = frac{1}{2} cot^{- 1}(frac{i a}{sqrt{p}}) $

ove per la prima equazione $ a/sqrt{p} > 1 $ e quindi in definitiva la soluzione è la seguente:

$a_n = - i sqrt{p} cot(2^{n - 1} cot^{- 1}(frac{i a}{sqrt{p}})) $

Posto $n = 1 $ in quest'ultima equazione essa restituisce $a_1 = a $.

L'equazioni differenziali non le ho ancora fatte !

Vabbé, ma qual è la consegna dell'esercizio? Sei sicuro che ti chieda di trovare la soluzione esplicita?

... E quindi immagino meno che meno quelle alle differenze del primo ordine...
Ecco, vedo adesso la risposta di dissonance e sono d'accordo: che cosa ti chiede l'esercizio, esattamente ?
Perché qualche valore lo puoi calcolare:

$a_1 = a > sqrt{p} $
$a_2 = frac{1}{2}(a_1+ frac{p}{a_1}) = frac{1}{2}(a + frac{p}{a}) = frac{1}{2} frac(a^2 + p}{a} $
$a_3 = frac{1}{2}(a_2+ frac{p}{a_2}) = frac{1}{2}(frac{1}{2}(a + frac{p}{a}) + frac{p}{frac{1}{2}(a + frac{p}{a})}) = frac{1}{4}(a + frac{p}{a}) + frac{p}{a + frac{p}{a}} $
$\vdots $

No c'è anche la risoluzione dell'esercizio, ma il mio problema è, come inquadrare questi tipi di esercizi, cioè se c'è la possibilità di adottare un filo logico.
Se volete, posso riportare la risoluzione dell'esercizio.

cordiali saluti

galles90 ha scritto:No c'è anche la risoluzione dell'esercizio, ma il mio problema è, come inquadrare questi tipi di esercizi, cioè se c'è la possibilità di adottare un filo logico.

Dipende, delle volte sono particolarmente semplici, come ad esempio qui.

galles90 ha scritto:Se volete, posso riportare la risoluzione dell'esercizio.

Beh, se ce l'hai a disposizione perché no, così capiamo quali sono le richieste...

Le richieste saranno le solite, cioè provare che la successione è limitata, monotòna e convergente, poi calcolarne il limite.
Tutto si fa usando il Principio di Induzione ed un po' d'intuito.