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Considero $(X,d)$ spazio metrico e $YsubsetX,Yne emptyset$
Definisco la chiusura di $Y$ come l’insieme dei punti di aderenza di $Y$ e lo scriverò come $C(Y)$

Ora devo mostrare che $C(Y)$ è un insieme chiuso e che $Y$ è chiuso sse $Y=C(Y)$

Intanto mostro che $C(Y)$ è chiuso.
Se $x in XsetminusC(Y)$ allora esiste $r>0:B(x,r)capC(Y)=emptyset$
Pertanto $forally inB(x,r)=>y in XsetminusC(Y)$ quindi $B(x,r)subseteqXsetminusC(Y)$ ovvero $XsetminusC(Y)$ è aperto e quindi $C(Y)$ è chiuso.

Ora mostro che $Y$ è chiuso sse $C(Y)=Y$
<= ) è ovvia per quanto appena mostrato.

=> ) dobbiamo mostrare che vale la doppia inclusione
Ora se $x inY$ allora è chiaro che $B(x,r)capYne emptyset,forallr>0$ poiché $d(x,x)=0<r=>x inB(x,r),forallr>0$
Dunque ogni punto che appartiene a $Y$ è aderente ad esso e quindi $YsubseteqC(Y)$

Ora l’idea che che uso per mostrare che quanto serve è che se $Y$ è chiuso allora una successione di elementi di $Y$ che converge in $X$ converge ad un punto di $Y$.
Quindi se $x inC(Y)$ allora $B(x,r)capYne emptyset,forallr>0$ facendo variare $r in{1/(n+1):n inNN}$ otteniamo una successione $(x_n)_(n inNN)$ di elementi di $Y$ con la proprietà che $d(x_n,x)<1/(n+1),foralln inNN$
Da cui si ottiene che $x_n->x$ per confronto e poiché per ipotesi $Y$ è chiuso allora $x in Y$.
Pertanto $Y=C(Y)$

Diciamo che errori non ne ho trovati.

Ciao! Alcune cose:

Quale è la tua definizione di chiuso? Giusto per essere certi, penso tu consideri aperti gli insiemi che contengono un intorno sferico aperto di ogni loro elemento e i chiusi come i loro complementari, ma non si sa mai.

anto_zoolander ha scritto:Intanto mostro che $C(Y)$ è chiuso.
Se $x in XsetminusC(Y)$ allora esiste $r>0:B(x,r)capC(Y)=emptyset$
Pertanto $forally inB(x,r)=>y in XsetminusC(Y)$ quindi $B(x,r)subseteqXsetminusC(Y)$ ovvero $XsetminusC(Y)$ è aperto e quindi $C(Y)$ è chiuso.

Qua c'è un errore, non è vero che se $x \notin C(Y)$ allora esiste $r>0:B(x,r)\capC(Y)=\emptyset$, così stai già dicendo che $C(Y)$ è un chiuso. Quello che è vero è che:
$x \notin C(Y)$ allora esiste $r>0:B(x,r)\cap Y=\emptyset$

Poi mi pare che tutto fili, ovviamente stai usando $C$ chiuso sse ogni successione di elementi di $C$ convergente converge in $C$.
Finezza l'$1/(n+1)$, io ci piazzo sempre $1/n$ e $n\ in NN_0$

Ciao bremen

Si per definizione di insieme chiuso uso quella per cui il complementare debba essere aperto nel senso che tutti i punti sono interni.

Cavolo ho sbagliato a scrivere. Giustamente è come dici tu poi la dimostrazione rimanere pari pari quella.

Mi da fastidio partire da $n=1$

Una metrica induce una topologia; forse ti aiuta dimostrare che \(CY=\overline Y\), dove $CY$ è l'insieme dei punti di aderenza, e \(\overline Y\) l'intersezione di tutti i chiusi contenenti $Y$.

Avevo in programma di arrivarci è sicuramente aggiungerò la dimostrazione quì.
La dimostrazione come ti sembra?

anto_zoolander ha scritto:Cavolo ho sbagliato a scrivere. Giustamente è come dici tu poi la dimostrazione rimanere pari pari quella.

Si basta sostituire tutti i $C(Y)$ con $Y$ ; sostanzialmente arrivi a dire che $C(Y)^c = \stackrel{\circ}{(Y^c)}$ e quindi $C(Y)$ è chiuso.