Misura di Peano Jordan della chiusura e dell'interno

Messaggioda Francesco71 » 23/11/2017, 14:06

Mi stavo concentrando su una possibile "catena" di disuguaglianze per la misura di Peano Jordan.
Sono riuscito facilmente a provare che la misura esterna (secondo PJ) di un qualsiasi insieme limitato \(\displaystyle E \) coincide con quella della sua chiusura $\bar{E}$, ossia: $m_e(E)=m_e(\bar{E})$ e analogamente la misura interna di $E$ coincide con quella del suo interno: $m_i(E)=m_i(E^°)$. Da cui segue che $E$ è PJ-misurabile se e solo se $m_i(E^°)=m_e(\bar{E})$ cioè se e solo se interno e chiusura di $E$ sono PJ-misurabili e le loro misure coincidono.
Fino a qui tutto ok.
Mi chiedevo quindi se sussiste anche una relazione tra $m_i(\bar{E})$ e $m_e(E^°)$.
Se prendo un insieme PJ-misurabile anche queste misure appunto coincidono.
Prendendo $E=Q\cap [0;1]$, trovo che $\bar{E}=[0;1]$ mentre $E^°=\emptyset$ per cui $m_i(\bar{E})=1 > 0=m_e(E^°)$, pertanto penso che in generale possa valere $m_e(E^°) \leq m_i(\bar{E})$, ma non riesco a provarla. Anzi mi viene il serio dubbio che sia falsa (e quindi che non ci sia alcuna relazione generale tra $m_i(\bar{E})$ e $m_e(E^°)$) in quanto se $E$ è un compatto risulta invece: $m_i(\bar{E})=m_i(E)=m_i(E^°)\leq m_e(E^°)$ non riuscendo però a trovare un compatto per il quale valga la disuguaglianza stretta.
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Re: Misura di Peano Jordan della chiusura e dell'interno

Messaggioda Franc71 » 07/05/2020, 21:08

Ripropongo questo mio vecchio thread che è un po' un pallino per me.
Penso sempre più che non ci sia nessuna relazione tra le due misure e cioè che anche $m_e(E^o) \leq m_i (\bar{E})$ sia falsa.
Nel tentativo di cercare un esempio che la faccia saltare, mi sono avvicinato trovandone uno con la disuguaglianza opposta, solo che non è stretta, e quindi le due misure potrebbero essere uguali.
L'esempio è il classico aperto non misurabile secondo PJ e cioè l'insieme $A_\epsilon = \bigcup_{n=1}^\infty (q_n - \epsilon /2^n ; q_n + \epsilon /2^n)$ dove i $q_n$ sono i razionali compresi tra 0 e 1 ed $0<\epsilon<1/2$.
Per tale aperto, come ho verificato senza problemi, $m_e (A_\epsilon ) \geq 1$ mentre $m_i (A_\epsilon) \leq 2\epsilon$ e pertanto non è PJ misurabile. Inoltre ha il vantaggio di non avere l'interno vuoto.
Si ha: $m_e(E^o) = m_e(A_\epsilon) = m_e(\bar{A_\epsilon}) \geq m_i (\bar{A_\epsilon}) = m_i (\bar{E})$ ma appunto non posso essere sicuro che la disuguaglianza sia stretta.
Se qualcuno vuole spenderci un po' di tempo...
Grazie!
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Re: Misura di Peano Jordan della chiusura e dell'interno

Messaggioda Franc71 » 13/05/2020, 10:37

in pratica, per confutare la disuguaglianza, basta trovare un aperto la cui chiusura non sia PJ misurabile e come aperto potrebbe appunto andare bene $A_\epsilon$ solo che non sono per niente sicuro che la sua chiusura sia $\bigcup_{n=1}^\infty [q_n - \epsilon /2^n ; q_n + \epsilon /2^n]$. Se fosse così sarebbe tutto ok.
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Re: Misura di Peano Jordan della chiusura e dell'interno

Messaggioda dissonance » 15/05/2020, 12:06

Secondo me c'è un errore da qualche parte, ti dico la verità. Ricordami la definizione di "misura interna" e di "misura esterna" secondo Peano-Jordan, per favore.
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Re: Misura di Peano Jordan della chiusura e dell'interno

Messaggioda Franc71 » 16/05/2020, 00:48

dissonance ha scritto:Secondo me c'è un errore da qualche parte, ti dico la verità. Ricordami la definizione di "misura interna" e di "misura esterna" secondo Peano-Jordan, per favore.

Si, la misura interna è l'estremo superiore delle misure (elementari) dei plurintervalli contenuti nell'insieme in questione; mentre quella esterna "dualmente" è l'estremo inferiore delle misure dei plurintervalli contenenti l'insieme. Come scritto in vari testi (la verifica è facile), la misura interna di un insieme coincide con quella dell'interno dell'insieme stesso; mentre la misura esterna coincide con quella della chiusura. In pratica con la misura di PJ si approssima dall'interno con aperti e dall'esterno con compatti, ragione per cui questa misura è meno "raffinata" di quella di Lebesgue che invece approssima dall'interno con compatti e dall'esterno con aperti.
Ora, tornando a PJ, mi chiedevo se esiste una relazione tra $m_i (\overline{E})$ e $m_e (E^°)$. Prendendo l'insieme dei razionali tra 0 e 1, come scrivo all'inizio, vedo che potrebbe forse valere $m_e (E^°) \leq m_i (\overline{E})$.
Siccome non riesco a dimostrarla, penso sia falsa e come controesempio potrebbero andare bene gli aperti $A_\epsilon$ di cui scrivo in seguito e che non sono PJ misurabili (fatto scritto nel testo di Giusti), ma per affermare che è effettivamente il controesempio che cerco dovrei essere in grado di determinarne la chiusura.
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