Mi stavo concentrando su una possibile "catena" di disuguaglianze per la misura di Peano Jordan.
Sono riuscito facilmente a provare che la misura esterna (secondo PJ) di un qualsiasi insieme limitato \(\displaystyle E \) coincide con quella della sua chiusura $\bar{E}$, ossia: $m_e(E)=m_e(\bar{E})$ e analogamente la misura interna di $E$ coincide con quella del suo interno: $m_i(E)=m_i(E^°)$. Da cui segue che $E$ è PJ-misurabile se e solo se $m_i(E^°)=m_e(\bar{E})$ cioè se e solo se interno e chiusura di $E$ sono PJ-misurabili e le loro misure coincidono.
Fino a qui tutto ok.
Mi chiedevo quindi se sussiste anche una relazione tra $m_i(\bar{E})$ e $m_e(E^°)$.
Se prendo un insieme PJ-misurabile anche queste misure appunto coincidono.
Prendendo $E=Q\cap [0;1]$, trovo che $\bar{E}=[0;1]$ mentre $E^°=\emptyset$ per cui $m_i(\bar{E})=1 > 0=m_e(E^°)$, pertanto penso che in generale possa valere $m_e(E^°) \leq m_i(\bar{E})$, ma non riesco a provarla. Anzi mi viene il serio dubbio che sia falsa (e quindi che non ci sia alcuna relazione generale tra $m_i(\bar{E})$ e $m_e(E^°)$) in quanto se $E$ è un compatto risulta invece: $m_i(\bar{E})=m_i(E)=m_i(E^°)\leq m_e(E^°)$ non riuscendo però a trovare un compatto per il quale valga la disuguaglianza stretta.