Discontinuità

[daenerys]

Sia f(x) = ${4/pi arctg(x)}$
Ha punti di discontinuità?
Se $x_0$ è punto di discontinuità calcolare il $lim_(x->x_0^+) f(x_0)$ e $lim_(x->x_0^-) f(x_0)$

Allora la parte frazionaria me la sono riscritta come $4/pi arctg(x) - [4/pi arctg(x)]$ ora, tale funzione è definita su tutta la retta reale e non dovrebbe avere punti di discontinuità, o mi sbaglio?

[Plepp]

Il fatto che sia definita su tutto $RR$ non c'entra un tubo con la continuità. Dovresti rivedere la definizione.

[daenerys]

Beh dovrei trovare dei punti dove il limite destro e sinitro della funzione o ha valori distinti, o uno non esiste, o tendono all'infinito. Fin qui ci sto, il fatto del dominio mi sono sbagliato a spiegarmi, lo so. Il fatto è che in tal caso non so come studiarmi o verificare che esistano tali punti

[Plepp]

Si ha
\[-2<\frac{4}{\pi}\arctan x<2\].
La $f(x)$ si calcola prendendo la parte frazionaria di $\frac{4}{\pi}\arctan x$ (volgarmente: solo i numeri dopo la virgola nell'espansione decimale di $\frac{4}{\pi}\arctan x$).

Prima di continuare, pensa a come è fatto il grafico della parte frazionaria di $x$. Poi passa alla parte frazionaria di $\frac{4}{\pi}\arctan x$ e sarà più semplice. Cerca di andare avanti da solo

[AnalisiZero]

In effetti anch'io penso che non abbia punti di discontinuità.
In effetti quella funzione non è semplicemente $arctg(x)$ moltiplicato per una costante? Dalla trasformazione derivante dal elementare sembra che non ci siano punti di discontinuità.

[Plepp]

In effetti anch'io penso che non abbia punti di discontinuità.
In effetti quella funzione non è semplicemente $arctg(x)$ moltiplicato per una costante? Dalla trasformazione derivante dal elementare sembra che non ci siano punti di discontinuità.

Ti è sfuggita la parte frazionaria! Le parentesi graffe.

[AnalisiZero]

Allora è un argomento che non conosco scusate.

[daenerys]

Per il grafico della parte frazionaria di x ok, che poi presenta dei punti di discontinuità per per ogni intero giusto? La stessa cosa varrebbe per questa funzione

[Plepp]

Per il grafico della parte frazionaria di x ok, che poi presenta dei punti di discontinuità per per ogni intero giusto? La stessa cosa varrebbe per questa funzione

Non proprio. Poiché $g(x):=4/\pi \arctan x$ è continua e strettamente crescente, $f(x):=\{4/\pi \arctan x\}=\{g(x)\}$ ha una discontinuità ogniqualvolta $g(x)$ è intero, ossia in ogni punto $x$ tale che
\[\frac{4}{\pi}\arctan x= k,\qquad k\in \mathbb{Z}. \tag{$\star$}\]
Cerchiamo questi $x$. Visto che
\[-2<\frac{4}{\pi}\arctan x<2, \qquad \forall x\in \mathbb{R},\]
l'equazione $(\star)$ può avere soluzioni solo per $k=-1,0,1$.

Ora chiedo a te (altrimenti l'esercizio te lo finisco io e non va bene): per questi valori di $k$, l'equazione ammette soluzioni? Se sì, quante e quali?

[daenerys]

Aah ho capito sisi, scusami ma avevo capito male sopra, trovo le soluzioni e quelli sarebbero i punti di discontinuità!