dimostrazione con definizione di limite

[raptor91]

Sia data f : A ⊂ R → R e sia x0 un punto di accumulazione di A. Supponiamo che
$ lim_(x -> x0) f(x)=l in R $

Sia g(x) := f(x) + α per un qualche α ∈ R. Dimostrare che
$ lim_(x -> x0) g(x)=l + a $

non riesco a capire come dimostrare questa cosa mediante la definizione di limite...

[anto_zoolander]

La funzione $g$ è definita sullo stesso insieme di $f$, ovvero $A$.

Una precisazione giusto per citare @fioravante
Dire $lim_(x->x_0)f(x)=l inRR$ è un abuso piuttosto frequente ma sbagliato.

$exists l inRR:lim_(x->x_0)f(x)=l$

È la scrittura corretta. La scrittura del limite è una scrittura che intrinsecamente nasconde una proposizione. Pertanto è corretto dire che esiste un qualcosa per cui alla definizione di limite risulti vera.

Passando a te, per ipotesi vale quel limite, ovvero:
$forallepsilon>0existsdelta>0:|f(x)-l|<epsilon,forallx inA:0<|x-x_0|<delta$

Basta notare che $|g(x)-(l+a)|=|f(x)+a-l-a|=|f(x)-l|<epsilon,forallx inA:0<|x-x_0|<delta$

Da questo ottieni che comunque prendi $epsilon>0$ esiste $delta>0$ per cui vale $|g(x)-(l+a)|<epsilon$ definitivamente in un intorno bucato di $x_0$ e quindi si è verificato che

$exists(l+a) inRR:lim_(x->x_0)g(x)=l+a$