Successioni su $RR^k$

[anto_zoolander]

Stavo cercando di dimostrare una cosa...

Sia $AsubsetRR^k$ non vuoto e limitato reso normato dalla norma euclidea(metrico, topologico)
Per ipotesi $A$ è limitato quindi $existsM>0:AsubseteqB(0,M)$
Definisco $I=(-M,M)times...times(-M,M)$ esattamente $k$ volte.
Ovvero $I={(x_1,..,x_k)inRR^k:|x_j|<M,forallj=1,..,k}$

Ora ovviamente $AsubseteqB(0,M)subsetI$

Ora pensavo... sia $(x_n)_(n inNN)$ una successione di punti di $A$ con $x_n=(x_(1,n),...,x_(k,n))$ e le $(x_(j,n))_(n inNN)$ successioni da $NN$ in $RR$

Per quanto visto $x_n inI,foralln inNN$ da cui si ottiene che $|x_(j,n)|<M,foralln inNNforallj=1,..,k$ ma allora le successioni delle coordinate sono successioni limitate pertanto per il teorema di Bolzano-Weierstrass ammettono tutte una sottosuccessione convergente. Quindi supponiamo che $x_(j,n_(t_j))->x_(t_j),forallj=1,...,k$

Da cui si ottiene che la successione $(x_(j,n_(t_1)),...,x_(j,n_(t_k)))$ converge a $(x_(t_1),...,x_(t_k))$

Il problema è che sembra essere una successione che dipende da $t_1,...,t_k$

intanto, nel caso in cui la dimostrazione fosse corretta
Mi serviva per dimostrare che una funzione $f:A->RR$ continua su un insieme chiuso limitato è una funzione limitata.
Il motivo per cui ho pensato a questa dimostrazione è che se si suppone per assurdo che $s u p(f)=+infty$ si riesce a costruire una successione di punti di $A$ che gode della proprietà $f(x_n)>2^n,forall n inNN$

Ovvero che da un lato $f(x_n)->+infty$ dall’altro sappiamo che la successione è limitata dunque ammette una sottosuccessione convergente in $RR^n$ ed essendo $A$ un insieme chiuso, il limite appartiene ad $A$ e per la continuità di $f$ si ottiene che posta $x_(n_k)$ la sottosuccessione e $x$ il suo limite allora $f(x_(n_k))->f(x)$ e $f(x_(n_k))>2^(n_k),forall k inNN$ ovvero una contraddizione.

È tutto corretto?(stavo facendo weierstrass in più variabili)

[Plepp]

Stavo cercando di dimostrare una cosa...

Sia $AsubsetRR^k$ non vuoto e limitato reso normato dalla norma euclidea(metrico, topologico)
Per ipotesi $A$ è limitato quindi $existsM>0:AsubseteqB(0,M)$
Definisco $I=(-M,M)times...times(-M,M)$ esattamente $k$ volte.
Ovvero $I={(x_1,..,x_k)inRR^k:|x_j|<M,forallj=1,..,k}$

Ora ovviamente $AsubseteqB(0,M)subsetI$

Ora pensavo... sia $(x_n)_(n inNN)$ una successione di punti di $A$ con $x_n=(x_(n,1),...,x_(n,k))$ e le $(x_(n,j))_(n inNN)$ successioni da $NN$ in $RR$

Per quanto visto $x_n inI,foralln inNN$ da cui si ottiene che $|x_(j,n)|<M,foralln inNNforallj=1,..,k$ ma allora le successioni delle coordinate sono successioni limitate pertanto per il teorema di Bolzano-Weierstrass ammettono tutte una sottosuccessione convergente. Quindi supponiamo che $x_(j,n_(t_j))->x_(t_j),forallj=1,...,k$

Da cui si ottiene che la successione $x_n=(x_(j,n_(t_1)),...,x_(j,n_(t_k)))$ converge a $(x_(t_1),...,x_(t_k))$

Quasi. Facciamo $k=2$ che ci sbrighiamo. Stai considerando $(P_n)_n$ successione in $A$, con $P_n=(x_n,y_n)$; $(x_n)_n$ ammette un'estratta convergente $(x_{n_m})_m$ e analogamente $(y_n)_n$ ammette l'estratta convergente $(y_{n_p})_p$. Così però non va bene: le due estratte hanno indici diversi.

Nessun problema: anziché estrarre una sottosuccessione da $(y_n)_n$, la estraiamo da $(y_{n_m})_m$ (la quale è limitata ma non necessariamente convergente). EDIT: chiaro ora che, detta $(y_{{n_m}_p})_p$ l'estratta convergente di $(y_{n_m})_m$, anche l'estratta $(x_{{n_m}_p})_p$ di $(x_{n_m})_m$ converge, visto che già $(x_{n_m})_m$ era convergente.

Spoiler sull'anno prossimo: capisci bene che questa cosa di estrarre dalle estratte delle estratte delle estratte ecc. funziona finché sei in dimensione finita. E infatti, quando lo spazio ambiente ha dimensione infinita Bolzano-Weierstrass non vale più

È tutto corretto?(stavo facendo weierstrass in più variabili)

Se non ricordo male, Weierstrass in più variabili è tale e quale a Weierstrass 1D in termini di dimostrazione.

[anto_zoolander]

Bella questa allora ora la concludo così
Tanto penso che cadró malato prima dell’anno prossimo.

Si il problema è che ai tempi dell’esame di analisi 1 feci autonomamente una dimostrazione, che era pari pari a questa.
Ovviamente scoprii l’acqua calda, ma almeno l’ho fatta da solo e quindi stavo cercando di vedere se funzionasse la stessa dimostrazione (questioni di coerenza) anche su $RR^n$

[Plepp]

Certo, la tua dimostrazione è corretta (e farla da solo quando studiavi Analisi 1 è stata una scelta saggia e di tutto rispetto). Unica cosa: negare "$f$ limitata" non vuol dire ammettere che $"sup"f=+\infty$...mentre vuol dire ammettere $"sup"f=+\infty$ oppure $"inf"f=-\infty$.

Tanto penso che cadró malato prima dell’anno prossimo.

mi hai fatto ridere... noi matematici cadiamo tutti malati prima o poi (e un po' già lo siamo) ahahah.

[anto_zoolander]

sì una scelta che ho fatto quando ho iniziato gli studi è stata quella di fare il più possibile da solo, fino ad ora è andata bene tutto sommato.
Si è chiaro, stavo trattando il caso se fosse $s u p=+infty$ e poi avrei tagliato il tutto con ‘analogo se $i n f =-infty$’ da buon minimalista.

Più che altro si stipula un contratto con la sociopatia.

[dissonance]

Stavo cercando di dimostrare una cosa...

[...bla bla bla...]

Anto io sarò un po' duro, però è perché vedo che ti impegni un sacco, e secondo me puoi ottenere ottimi risultati.

Io quando leggo un tuo post non arrivo neanche a metà. Scrivi *un mare* di roba inutile, non strutturi il discorso, non segui lo schema enunciato - dimostrazione. Insomma, scrivi senza né capo né coda. Se ti sforzassi un minimo di essere sintetico e "to the point", ti leggerei con molto più piacere.

[anto_zoolander]

Purtroppo tutti i post che mi vedi scrivere, li scrivo dal cellulare e mi partono gli occhi, quindi cerco di sbrigarmi.
Il problema è che molto spesso la dimostrazione nemmeno l’ho fatta su carta e la faccio direttamente quì sul forum buttando inizialmente idee e mi rendo conto che sembra quasi presuntuoso l’aspettarsi che qualcuno trovi l’ordine che trovo io nelle mie idee, quindi mi dispiace davvero se a volte rendo incomprensibili i miei post.
Cercherò di migliorare in questo.

[Plepp]

Sono d’accordo su tutto con dissonance e non penso che lui si riferisse proprio a questo.

Tipo: qui hai iniziato dimostrando in modo super dettagliato che se $A$ è limitato, ogni successione in $A$ è limitata e ha le coordinate limitate, che oltre ad essere solo il punto di partenza del tuo discorso è anche di una ovvietà tremenda. Insomma, ti perdi nei tecnicismi a volte e un po’ perdi di vista il succo.

Mi permetto di farti queste critiche proprio perché sono d’accordo con dissonance sul fatto che puoi avere buoni risultati, e anche perché un po’ in te rivedo me ai primi tempi, fissato nel dimostrare ogni cosa inutile e perso nei tecnicismi, il che da un lato è stata una cosa positiva perchè ho imparato a fare come si deve la dimostrazione di qualsiasi cosa che fossi in grado di intuire, da un lato ha rallentato i progressi in termini di comprensione della vera essenza della materia.

[anto_zoolander]

Si infatti mi sono fissato con la teoria e le dimostrazioni.
Mi viene quasi spontaneo essere ‘pedante’ con le dimostrazioni e giustificare pure l’aria che respiro.
Ho una marea di colleghi che non sanno nemmeno come comporre una dimostrazione ed è una cosa che ho sempre odiato, solo che forse dovrei allentare un po’ la presa e fare un po’ di sani esercizi.

Anzi ho scritto ‘ovviamente $AsubseteqB(0,M)subsetI$

[dissonance]

Non dico di non postare. Basterebbe solo rileggere e correggere prima di postare.


P.S.: Ma come si fa a scrivere matematica con un telefonino, ci vuole una tastiera, ci vogliono due mani. Se non hai un computer puoi collegare una tastiera all'iPhone (sarà sicuramente cara, però).