Ciao a tutti,
Ci sono diversi metodi per risolvere l'integrale proposto al punto 1. Qui di seguito ne propongo uno comprensibile con le conoscenze di Analisi I.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Posto $ x := 2t \implies dx = 2dt $, per $x = 0 \implies t = 0$, per $x = \pi \implies t = pi/2 $ per cui si ha:
$ \int_0^{\pi} \ln(cos(x/2))dx = 2 \int_0^{\pi/2} \ln(cos t)dt = 2 \int_0^{\pi/2} \ln(sin t)dt $
ove l'ultima eguaglianza è stata trovata sostituendo $t $ con $pi/2 - t $. Dunque posto $I := \int_0^{\pi/2} \ln(cos t)dt = \int_0^{\pi/2} \ln(sin t)dt $ si ha:
$I + I = \int_0^{\pi/2} \ln(cos t)dt + \int_0^{\pi/2} \ln(sin t)dt = \int_0^{\pi/2} \ln(sin t cos t) dt = \int_0^{\pi/2} \ln(frac{2sin t cos t}{2}) dt \implies $
$\implies I = frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} \ln[sin(2t)] dt - frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} ln 2 = frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} \ln[sin(2t)] dt - frac{1}{2}ln 2 \int_0^{\pi/2} dt \implies $
$\implies I = frac{1}{4}\int_0^{\pi} \ln(sin u) du - frac{\pi}{4} ln 2 = frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} \ln(sin t) dt - frac{\pi}{4} ln 2 = frac{I}{2} - frac{\pi}{4} ln 2 \implies$
$I = - frac{\pi}{2} ln 2 $
Dunque in definitiva si ha:
$ \int_0^{\pi} \ln(cos(x/2))dx = 2 I = - \pi ln 2 $
Poi ci sono un paio di metodi basati sulle
somme di Riemann ed anche un altro un po' più avanzato... Se riesco ad avere un po' di tempo ne posto qualcuno.