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con i numeri complessi trovi che i vertici di un $n-$agono regolare inscritto in una circonferenza di raggio $1$ sono i punti $V_k=(cos((2kpi)/N),sin((2kpi)/N))$ con $N$ numero di vertici e $k=0,..,N-1$

Fisso $V_0$ e considero le lunghezze $||vec(V_0V_k)||$ per arrivare a:

$g(N)=root(N-1)(prod_(k=1)^(N-1)||vec(V_0V_k)||)=root(2(N-1))(2*prod_(k=1)^(N-1)(1-cos((2kpi)/N))$

Dice WolframAlpha che $lim_(N->+infty)g(N)=1$ e io mi fido

L'idea è quella giusta! Ma non calcolare il limite, non subito almeno..bisogna riuscire a trovare un espressione esplicita per quella produttoria e da lì dovrebbe essere poi facile tirare fuori delle belle somme di Riemann...

Formule di Eulero per il seno e coseno...?

Se ti riferisci al punto 1 io non le ho usate.
Nel punto 2 io le ho usate ma si può fare anche senza, basta essere più svegli di me!

Si ho notato qualcosa passando all’esponenziale.

Ma per il primo si devono sfruttare delle proprietà della funzione in quel particolare intervallo no? Calcolare la primitiva è impossibile

Esponenziale --> ok!
Per l'integrale: certo, non esiste una primitiva di quella funzione esprimibile come combinazione di funzioni elementari.

Ero arrivato al fatto che quella quantità coincidesse con

$exp(lim_(N->+infty)1/(2N-2)sum_(k=1)^(N-1)log(2-2cos((2kpi)/N))$

Devo solo farmi un’idea di come farlo degenerare in un integrale. Solo che ancora diciamo che non ci ho messo mano per calcolarlo perché avevo sonno stasera vedo di farli e li posto.

Posto $ x := 2t \implies dx = 2dt $, per $x = 0 \implies t = 0$, per $x = \pi \implies t = pi/2 $ per cui si ha:

$ \int_0^{\pi} \ln(cos(x/2))dx = 2 \int_0^{\pi/2} \ln(cos t)dt = 2 \int_0^{\pi/2} \ln(sin t)dt $

ove l'ultima eguaglianza è stata trovata sostituendo $t $ con $pi/2 - t $. Dunque posto $I := \int_0^{\pi/2} \ln(cos t)dt = \int_0^{\pi/2} \ln(sin t)dt $ si ha:

$I + I = \int_0^{\pi/2} \ln(cos t)dt + \int_0^{\pi/2} \ln(sin t)dt = \int_0^{\pi/2} \ln(sin t cos t) dt = \int_0^{\pi/2} \ln(frac{2sin t cos t}{2}) dt \implies $
$\implies I = frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} \ln[sin(2t)] dt - frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} ln 2 = frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} \ln[sin(2t)] dt - frac{1}{2}ln 2 \int_0^{\pi/2} dt \implies $
$\implies I = frac{1}{4}\int_0^{\pi} \ln(sin u) du - frac{\pi}{4} ln 2 = frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} \ln(sin t) dt - frac{\pi}{4} ln 2 = frac{I}{2} - frac{\pi}{4} ln 2 \implies$
$I = - frac{\pi}{2} ln 2 $

Dunque in definitiva si ha:

$ \int_0^{\pi} \ln(cos(x/2))dx = 2 I = - \pi ln 2 $