Dubbi sulla condizione necessaria della conservatività

Salve,
sono Giuse97.
Mi sono appena iscritto
Studio ingegneria meccanica e dovrei sostenere l'esame di analisi 2.
Ho dei dubbi sulla condizione necessaria per la conservatività, ovvero:
tale condizione afferma che se le derivate "in croce" sono uguali, allora posso definire il mio campo irrotazionale.
Geometricamente cosa significa? Il fatto che le derivate siano uguali, cosa comporta al campo?
Spero di non aver commesso nessun errore e vi ringrazio per le eventuali risposte!

Il fatto che le derivate siano uguali, cosa comporta al campo?

Che è irrotazionale

Ciao Giuse97,

Benvenuto sul forum!

Che è irrotazionale

Qualche volta Vulplasir è un po' criptico, però ha ragione...
Infatti si ha:

$\text{rot } \mathbf F = \nabla \times \mathbf F = |(\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k) , ((del)/(delx),(del)/(dely),(del)/(delz)) , (F_x,F_y,F_z)| = ((delF_z)/(dely) - (delF_y)/(delz))\mathbf i + ((delF_x)/(delz) - (delF_z)/(delx))\mathbf j + ((delF_y)/(delx) - (delF_x)/(dely))\mathbf k $

se le derivate "in croce" sono uguali

significa che ciò che è contenuto nelle parentesi tonde è nullo, e quindi $\text{rot } \mathbf F = \mathbf 0 \implies \text{Campo irrotazionale}$

Altre informazioni sono reperibili qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Curl_(mathematics)

Grazie mille ad entrambi!
Il mio dubbio più che altro è che voglio sapere cosa succede geometricamente facendo la derivata parziale di una componente del campo?

Consideri la derivata direzionale del campo lungo una delle direzioni coordinate

Grazie mille!