Non siamo ‘amici’ nel senso stretto della parola, ma è una persona che stimo molto a livello di conoscienza scientifica.
Purtroppo un difetto lo conosco: è un ingegnere
Io sono d’accordo con lui nell’affermare che dire
funzione crescente in un punto non abbia alcun senso.
Il motivo è dato dalla sola definizione di crescenza di una funzione su un insieme,
$f:A->RR$ funzione
$f$ è crescente in $A$ se $forallx,y inA,x<y=>f(x)leqf(y)$
Alcuni testi decidono di usare $xleqy$ anziché $x<y$ ma secondo me è privo di senso visto che $x=y=>f(x)=f(y)$
E darebbe senso al dire che una funzione definita su un singoletto è sempre crescente, decrescente e costante. Il problema è che una funzione definita su un singoletto ha per grafico un punto, che non si smuove da dov’è messo.
Usando quindi la prima definizione di crescenza, giustamente una funzione su un singoletto non ha senso di aver definita una monotonia visto che non esistono almeno due punti distinti e quindi ha senso supporre che $A$ sia un insieme non ridotto a un singoletto.
Ha senso parlare invece di funzione crescente in un insieme quale un intorno di un punto.
Prendiamo $f(x):={(x if x inQQ),(0 if x inRRsetminusQQ):}$
Questa funzione pertanto non è crescente manco per sbaglio in un qualsiasi intorno nell’origine.
Per il semplice fatto che preso $UinI(0)$ basta prendere
$x,yinU:x inQQ,y inRRsetminusQQ,0<x<y=>x=f(x)>f(y)=0$Ricordati che un intorno dell’origine è un qualsiasi insieme contenente un aperto contenente l’origine.
Quindi considerando che ogni intorno dell’origine contiene almeno una palla aperta centrata nell’origine, è sempre possibile trovare in ogni intorno due valori che mi restituiscono la ‘mancata crescenza’ nell’intorno.
Anche se non si capisce se tu stia parlando di una funzione diversa da quella sopra scritta, intendendo due funzioni distinte, che valgono una sui razionali e una sugli irrazionali.
Ovvero $f(x)=x,forallx inQQ$ e $g(x)=0,forallx inRRsetminusQQ$
In questo caso $f$ è crescente in un tu tutto l’insieme di definizione e in particolare $g$ è non crescente, non decrescente e costante.
dall’avere una funzione $f:A->RR$ tale che $0inA$ e che sia crescente in $A$ si può dire che $forallx,y inA,x<y=>f(x)leqf(y)$ e passare al dire che fissando $y=0$ si ha $forallx inA,x<0=>f(x)leqf(0)$ma questo è lungi dall’essere la definizione crescenza in un punto, bensì conseguenza della definizione di crescenza, o crescenza strettaQuindi
SECONDO ME l’esercizio chiede di verificare che $f$ non sia crescente in alcun intorno dell’origine, ma se si fissa $y=0$ vale la proposizione $forallx inRR,x<0=>f(x)leqf(0)$
Io ho trovato
questo che e quello di cui penso tu stia parlando.
È una definizione abbastanza obsoleta e fuorviante a mio avviso, visto che da informazioni su un bel nulla. È più bello il nome della definizione che il definire con questo nome, tale cosa.
Se poi tu mi scrivi ‘
senti io definisco funzione crescente in un punto in tal modo’ allora ti dico amen.
Questo è un forum e in un forum si discute e ci si mette in discussione, quindi mettiti in discussione come ho appena fatto io avanzando una questione ed esponendotela.
Saluti.