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La funzione così definita :

f(x) = x per x appartenente a Q (razionale)
f(x) = 0 per x non appartenente a Q (irrazionale)

è crescente nell'origine , ma non in alcun suo intorno.

Come mai ? Dipende dal fatto che tra due reali c'è sempre un numero razionale?
Però non capisco la crescenza nel punto x=0

Grazie e saluti

E che diamine significa una funzione crescente in un punto? La funzione in un punto vale f(x)...come fa a crescere o decrescere...

significa che non hai studiato : Funzioni monotòne in un punto
Una funzione f si dice crescente in un punto c del suo dominio se esiste un intorno di c tale che, nell'intorno, x<= c implica f(x)<= f(c) Ovvia la modifica per il concetto di funzione decrescente. Se le disuguaglianze valgono in senso stretto, si parlerà di funzioni strettamente crescenti o strettamente decrescenti.

Ho studiato e meglio di te, la definizione non ha nessun senso

Ciao olanda
trovo questa domanda molto difficile...

possiamo azzardare e dire che questa funzione non è mai continua?
L'origine però è un punto un po' particolare
$f(0)=0$ e 0 è razionale
se ci spostiamo un po' $(0^+; 0^-)$ cosa succede?

beh UP

trovo la domanda molto insidiosa, c'è il concreto rischio di dire delle castronerie e proprio per questo mi interessa

allora comincio io così semai la figuraccia la faccio io

Dicevamo che la nostra funzione vale 0 quando $x=0$, io non so che numero viene subito dopo(prima) di zero, ma i casi sono 2:

o è razionale o non lo è

caso 1: il numero è razionale di conseguenza devo prendere in considerazione $f(x)=x$ e quindi è continua perchè quella funzione è continua
caso 2: il numero non è razionale di conseguenza devo prendere $f(x)=0$ e quindi è continua perchè è costante, il valore è sempre 0

cosa succede se mi sposto anche di pochissimo ($10^(-100)$)? Che avrò infiniti numeri tra zero e pochissimo alcuni corrisponderanno al loro valore ad esempio $f(10^(-102))=10^(-102)$; $f(10^(-101))=10^(-101)$, molti altri, quelli irrazionali, corrisponderanno a zero e quindi la funzione non è continua, no matter how short is the gap.

la tua risposta è compatibile con quella data dal testo (Rodino, lez.analisi matematica ,p.145 - Levrotto e Bella Torino).
Nel testo ne usa di tali funzioni, anche f(razionale)=x^2 , f(irraz)= 0 per fare un'esempio di funzione convessa nell'origine ma non in un intorno dell'origine! Mi ricordano la funzione di Dirichlet , casi patologici insomma. Ciao

caso 1: il numero è razionale di conseguenza devo prendere in considerazione $f(x)=x$ e quindi è continua perchè quella funzione è continua
caso 2: il numero non è razionale di conseguenza devo prendere $f(x)=0$ e quindi è continua perchè è costante, il valore è sempre 0


Ma allora in entrambi i casi è crescente nell'origine! quindi il testo aveva ragione! Sia y=x che y=0 sono crescenti in zero!

É crescente nell'origine, infatti preso un intorno $I=[-r,r]$ si ha che $ \forall x in I , x<=0 => f(x)<=f(0)=0$ (infatti $f(x)$ è o negativo oppure 0, per $x$ negativo)

Non è crescente in un intorno di 0.
Supponiamo che tale intorno sia $J$ allora esiste $r>0$ tale che $I=[-r,r] subset J$ e $f$ è ivi crescente. Per la densitá di $QQ$ si ha che: esiste un irrazionale $s \in [0,r]$, ed esiste un razionale $q in [0,s]$ diverso da 0.
Ma $0<q<s$ e $q=f(q)<=f(s)=0$ assurdo

Per tutti.


@olanda
Un po’ di umiltà non ha mai fatto male, bisogna mettere in dubbio ciò che si fa. Quantomeno ogni tanto....