chiedo il vostro aiuto per controllare il procedimento per determinare l'intervallo più ampio di soluzione in cui la soluzione del seguente PC è definita:
$ { y' = (x-3)(y^2-1), y(6) = 3} $
ora, supponendo $ y != +-1 $ è possibile riscrivere la prima equazione del sistema come:
$ int_(3)^(y) dy/(y^2-1) = int_(6)^(x) (x-3) dx $
per il quale risulta:
$ 1/2ln|(1+y)/(1-y)| - 1/2ln2 = x^2/2 -3x $
dopo un po' di conti si arriva a scrivere:
$ y = (2e^(x^2-6x))/(1-2e^(x^2-6x) $
Giunti qua è ora di dare un'occhiata alle condizioni imposte durante i conti, ovvero $ y != +- 1 $:
per $y != -1$, si nota che, dovendo essere:
$ (2e^(x^2-6x))/(1-2e^(x^2-6x)) != -1 $
dovrebbe risultare vera:
$ e^(x^2-6x) = -1/4 $
dunque questa condizione non ci crea problemi.
Passando a $ y != 1 $, non si deve verificare il caso in cui:
$ e^(x^2-6x) = 1/4 $
la cui equazione si risolve per $ x = 3 +- sqrt(9 -ln4) $.
Chiariti questi dettagli, si passa a studiare il denominatore, il quale richiede la condizione:
$ e^(x^2-6x) != 1/2 $
al fine di determinare in che intervallo locale è possibile definire la soluzione.
Questa equazione porta a escludere i valori di $ x $ pari a $ x = 3 +- sqrt(9 - ln2) $ .
Queste considerazioni portano a visualizzare un grafico del tipo:
da cui si dovrebbe dedurre che l'intervallo (massimale?) più ampio in cui la soluzione è definita è esattamente:
$ x in ( 3 - sqrt(9 - ln2) , 3 + sqrt(9 -ln4) ) $
Cosa ne pensate?
Ringrazio in anticipo!
