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Non trovo nulla in merito se non qualcosa su wiki, ma continuo ad avere dubbi.
Per esempio dato $(X,T)$ spazio topologico e $UsubseteqX$

Diremo che $z inX$ è di aderenza per $U$ se $(forallA inT,z inA),AcapUneemptyset$

Nel definire tali punti si usano intorni o aperti?

La tua domanda è se la definizione di punto aderente sia "ogni intorno di $z$ contiene un elemento di $U$" oppure "ogni aperto contenente $z$ contiene anche un elemento di $U$", ho capito bene? Se è così, io direi che usare gli aperti o gli intorni è la stessa cosa; le definizioni sono equivalenti. Difatti ogni aperto contenente $z$ è un intorno di $z$, e similmente per ogni intorno di $z$ esiste, per definizione, un aperto che contiene quest'ultimo.

Eh il dubbio mi sovviene proprio perché pensavo anche io fossero equivalenti. Però in genere un aperto contenente un punto non è detto che sia un intorno di $z$.

Se assumiamo che l’aperto debba essere contenuto propriamente, non sappiamo se ogni aperto contenga un altro aperto contente il punto.

anto_zoolander ha scritto: $(forallA inT,z inA)$

A in T significa esattamente che A è aperto.

anto_zoolander ha scritto:Se assumiamo che l’aperto debba essere contenuto propriamente...

Non sono sicuro che nella definizione di intorno l'inclusione debba essere propria. Il tuo testo lo dice esplicitamente? O forse lo dici perché usa il simbolo $\sub$? Perché, che io sappia, per la maggior parte degli autori non esiste una vera differenza tra $\sub$ e $\sube$. Ma, in ogni caso, ci sono ad esempio queste dispense in cui la definizione di intorno (pag. 5) inequivocabilmente implica che ogni aperto contenente un punto sia un intorno di quel punto. Anche nel Prodi viene specificato, se non ricordo male, che gli aperti sono insiemi che sono intorni di ogni loro punto.

dissonance ha scritto:

anto_zoolander ha scritto: $(forallA inT,z inA)$

A in T significa esattamente che A è aperto.

Si appunto, non che sia un intorno(?)


@siddy
Però se ci pensi includere l’inclusione impropria significa voler forzare le cose, perché a questo punto la definizione di intorno non ha alcun punto di forza, o quantomeno, andrebbe definito come.
$U$ è intorno di $z$ se $U$ è un aperto contenente $z$ oppure $U$ contiene un aperto contente $z$.
Questo chiaramente perché $forallAinT,AsubseteqA$ quindi se è $A$ è non vuoto è intorno di ogni suo punto. Quindi ogni aperto sarebbe un intorno di un punto.

Però se mi dite che è così, perfetto
Che ne pensate?


EDIT
Ho visto la definizione della dispensa e mi ha chiarito tutto, così appunto è inequivocabile. Ti ringrazio!