Integrale sostituzione

Salve a tutti ragazzi
Mi stavo cimentando con gli esercizi sugli integrali e mi sono trovato ad affrontare il seguente:
$ int sen(root(3)(1+x))dx $
in un primo momento ho cercato di risolverlo per parti senza alcun successo dopo ho provato per sostituzione ho posto:
$ t=x+1 rArr dt=dx $ l'integrale diventa $ int sen(t^(1/3))dt $ a questo punto ho continuato per sostituzione ponendo :
$ u=t^(1/3) rArr du=(1/3)*1/t^(2/3)dt $ ora ho pensato che poiché è stato posto $ u=t^(1/3) $ posso riscrivere
$ 1/3*1/t^(2/3) $ diventa $ 1/3*1/u^2 $ allora

$ 3u^2du=dt $
l'integrale diventa $ 3int sen(u)u^2du $ che posso risolvere per parti in modo agevole.
Il mio dubbio è sulla seconda sostituzione è lecito quel passaggio che ho fatto ? o l'integrale va risolto in maniera diversa ?
Se va risolto in maniera diversa potreste indicarmi la retta via ?
Grazie mille a tutti coloro che mi aiuteranno

Mi sembra corretto, ma bastava porre direttamente \( u = \sqrt[3]{1+x}\).

Ciao Alcool,

Benvenuto sul forum!

Tutto giusto, ora però devi integrare due volte per parti, come avevi pensato di fare all'inizio, per abbassare di grado la parte polinomiale ed avere alla fine un integrale in $ sin(u) $. Scegliendo $f(u) := u^2 $ come fattore finito e $dg = sin(u) du $ come fattore differenziale si ha:

$ int u^2 sin(u) du = - u^2 cos(u) + 2 int u cos(u) du $

Integrando nuovamente per parti l'ultimo integrale a destra scegliendo stavolta $f(u) := u $ come fattore finito e $dg = cos(u) du $ come fattore differenziale si ha:

$ int u^2 sin(u) du = - u^2 cos(u) + 2 int u cos(u) du = - u^2 cos(u) + 2 (u sin(u) - int sin(u) du) = $
$ = - u^2 cos(u) + 2 u sin(u) + 2 cos(u) + c = (2 - u^2)cos(u) + 2 u sin(u) + c $

Quindi si ha:

$ 3 int u^2 sin(u) du = (6 - 3 u^2)cos(u) + 6 u sin(u) + c $

A questo punto, ricordando che $u := t^{1/3} $, si ha:

$int sin(t^{1/3}) dt = 3 int t^{2/3} sin(t^{1/3}) dt = (6 - 3 t^{2/3}) cos(t^{1/3}) + 6 t^{1/3} sin(t^{1/3}) + c $

Quindi, ricordando che $t := x + 1 $, in definitiva si ha:

$ int sin(root[3]{x + 1}) dx = [6 - 3 root[3]{(x + 1)^2}] cos(root[3]{x + 1}) + 6 root[3]{x + 1} sin(root[3]{x + 1}) + c $

Grazie mille ragazzi