Calcolo limite di successione senza De L'Hopital

Messaggioda mbistato » 16/02/2018, 09:45

Salve a tutti,
è da alcuni giorni che mi scervello su come poter calcolare il seguente limite senza fare usa del teorema di De L'Hopital

$$\lim_{n\rightarrow +\infty}n^2\left [ e-\left (1+\frac{1}{n}\right )^n\right ]$$

Ho fatto diversi tentativi vani che riassumo qui sotto:

1) Trasformare il limite come

$$\lim_{n\rightarrow +\infty}e^{\ln n^2\left [ e-\left (1+\frac{1}{n}\right )^n\right ]}$$

e applicare le proprietà dei logaritmi.

2) Trasformare solo parte del limite ossia

$$\left (1+\frac{1}{n}\right )^n=e^{\ln \left (1+\frac{1}{n}\right )^n}$$

e applicare al solito le proprietà dei logaritmi.

3) Usare il teorema del confronto partendo dal fatto che

$$2 < \left (1+\frac{1}{n}\right )^n < 3$$

Come detto sopra nessuna di queste strade mi porta a sciogliere la forma indeterminata. Avete altre idee?
mbistato
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Re: Calcolo limite di successione senza De L'Hopital

Messaggioda pilloeffe » 16/02/2018, 11:21

Ciao mbistato,
mbistato ha scritto:Avete altre idee?

Sì, userei la disuguaglianza $e^x > 1 + x $ per $ x:= 1/n > 0 $:

$ e^{1/n} > (1+\frac{1}{n}) $

$ e > (1+\frac{1}{n})^n $

$ e - (1+\frac{1}{n})^n > 0 $

Perciò in definitiva si ha:

$ lim_{n \to +\infty} n^2 [e - (1+\frac{1}{n})^n] = +\infty $
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Re: Calcolo limite di successione senza De L'Hopital

Messaggioda mbistato » 17/02/2018, 03:24

Ciao pilloeffe e grazie per la risposta
Sono dubbioso sul fatto che se prendessimo in esame il limite
$$\lim_{n\to +\infty}n\left [e-\left (1+\frac{1}{n}\right )^n\right ]$$
non sarebbe possibile rifare il tuo ragionamento perché quest'ultimo limite risulta $e/2$.
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Re: Calcolo limite di successione senza De L'Hopital

Messaggioda otta96 » 17/02/2018, 11:18

Ma quest'ultimo limite lo sai calcolare senza de l'Hopital?
Comunque l'ultimo passaggio che ha fatto pilloeffe non è giustificato perché c'è una forma $\+infty*0$.
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Re: Calcolo limite di successione senza De L'Hopital

Messaggioda anto_zoolander » 17/02/2018, 15:45

Ma il teorema di De l’hopital con le successioni? :-k
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Re: Calcolo limite di successione senza De L'Hopital

Messaggioda francicko » 17/02/2018, 16:10

Penso che senza l'uso di Hopital od Taylor non sia fattibile, in quanto vi è il coinvolgimento di termini successivi al primo grado in $1/n $ $log (1+1/n)=1/n+o (1/n) $ si può scrivere come $lim_(x->0)(e-(1+x)^(1/x))/x^2$ ed applicare Hopital
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Re: Calcolo limite di successione senza De L'Hopital

Messaggioda pilloeffe » 17/02/2018, 18:25

Sì scusate, avete ragione, per la fretta non ho scritto che in realtà sempre con la disuguaglianza citata o con la sua versione logaritmica $ln(1 + x) \le x $ si potrebbe dimostrare che $\AA n \ge 1 $ si ha:

$e - (1 + 1/n)^n \ge frac{e}{2n + 2} > 0 $

Quindi il limite proposto vale in effetti $+\infty $ come ho scritto.
otta96 ha scritto:Ma quest'ultimo limite lo sai calcolare senza de l'Hopital?

La domanda di otta96 è lecita: se sai calcolare $lim_{n \to +\infty} n[e - (1 + 1/n)^n] = e/2 $ allora quello proposto è immediato... :wink:
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Re: Calcolo limite di successione senza De L'Hopital

Messaggioda mbistato » 17/02/2018, 20:21

pilloeffe ha scritto:Sì scusate, avete ragione, per la fretta non ho scritto che in realtà sempre con la disuguaglianza citata o con la sua versione logaritmica $ln(1 + x) \le x $ si potrebbe dimostrare che $\AA n \ge 1 $ si ha:

$e - (1 + 1/n)^n \ge frac{e}{2n + 2} > 0 $


Ci arrivi con il principio di induzione?
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Re: Calcolo limite di successione senza De L'Hopital

Messaggioda pilloeffe » 18/02/2018, 01:53

In realtà non ci sono arrivato così, ma non escludo che si possa dimostrare anche col principio di induzione: il passo iniziale per $n = 1 $ è semplice da verificare...
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