Limite fratto con l'uso dei limiti notevoli.

[midsoul]

Salve. Sono nuovo del forum e non so se sono nella sezione giusta. Mi servirebbe un aiuto con il limite seguente:
$lim_(x->0)(e^(-x^2) + 1 - 2cos x)/sin x^4$
Non posso utilizzare de l'Hopital, ma solo i limiti notevoli. Con de l'Hopital il risultato (e si trova) è $ 5/12 $

[Cantor99]

Non vorrei sbagliarmi ma qui non serve Taylor? Sopra ci sarebbe una cancellazione di infinitesimi

[midsoul]

Non vorrei sbagliarmi ma qui non serve Taylor? Sopra ci sarebbe una cancellazione di infinitesimi

Il problema è che il professore non ha ancora spiegato Taylor .. Quindi solo con Taylor si può?

[anto_zoolander]

I limiti notevoli li puoi usare sui prodotti, sulle somme non si può fare granché di furbo.
Anche io sono d’accordo su taylor

[midsoul]

Vi ringrazio del consiglio

[pilloeffe]

Ciao midsoul,

Benvenuto sul forum!

In effetti mi sa che hanno ragione Cantor99 e anto_zoolander... L'unica cosa che puoi fare eventualmente è "predisporre" in modo furbo il numeratore ed il denominatore coi limiti notevoli:

$ lim_{x \to 0} frac{e^(-x^2) + 1 - 2cos x}{sin x^4} = lim_{x \to 0} frac{e^(-x^2) - 1 + 2 - 2cos x}{frac{sin x^4}{x^4}\cdot x^4} = lim_{x \to 0} frac{- frac{e^(-x^2) - 1}{- x^2} + 2 frac{1 - cos x}{x^2}}{frac{sin x^4}{x^4}\cdot x^2} = $
$ = lim_{x \to 0} frac{1}{frac{sin x^4}{x^4}}\cdot lim_{x \to 0} frac{- frac{e^(-x^2) - 1}{- x^2} + 2 frac{1 - cos x}{x^2}}{x^2} $

Ma detto ciò per risolvere il secondo limite (che in effetti risulta $ 5/12 $ ) è necessario ricorrere agli sviluppi in serie...

[midsoul]

Ciao midsoul,

Benvenuto sul forum!

In effetti mi sa che hanno ragione Cantor99 e anto_zoolander... L'unica cosa che puoi fare eventualmente è "predisporre" in modo furbo il numeratore ed il denominatore coi limiti notevoli:

$ lim_{x \to 0} frac{e^(-x^2) + 1 - 2cos x}{sin x^4} = lim_{x \to 0} frac{e^(-x^2) - 1 + 2 - 2cos x}{frac{sin x^4}{x^4}\cdot x^4} = lim_{x \to 0} frac{- frac{e^(-x^2) - 1}{- x^2} + 2 frac{1 - cos x}{x^2}}{frac{sin x^4}{x^4}\cdot x^2} = $
$ = lim_{x \to 0} frac{1}{frac{sin x^4}{x^4}}\cdot lim_{x \to 0} frac{- frac{e^(-x^2) - 1}{- x^2} + 2 frac{1 - cos x}{x^2}}{x^2} $

Ma detto ciò per risolvere il secondo limite (che in effetti risulta $ 5/12 $ ) è necessario ricorrere agli sviluppi in serie...

Grazie mille pilloeffe, attenderò lo sviluppo in serie

[pilloeffe]

Grazie mille pilloeffe

Prego!

attenderò lo sviluppo in serie

Giusto per completezza:

$ lim_{x \to 0} frac{- frac{e^(-x^2) - 1}{- x^2} + 2 frac{1 - cos x}{x^2}}{x^2} = lim_{x \to 0} frac{-1 + x^2/2 + o(x^4) + 2(1/2 - x^2/24 + o(x^4))}{x^2} = $
$ = lim_{x \to 0} 1/2 - 1/12 + o(x^2) = 5/12 $