Estremi vincolati: non riesco a proseguire...

[anto_zoolander]

Io continuo invece con la mia proposta
Parametrizzare il bordo del vincolo significa assegnare una curva che ha come sostegno l’insieme.
In questo caso l’insieme è banalmente la circonferenza di raggio $1$

In questo caso sarebbe $phi(t)=(cost,sint),t in[0,2pi]$
Questa funzione associa a ogni valore dell’intervallo, un punto del bordo.

Quindi $f(phi(t))=sin(cost+sint)$ calcola il valore della funzione $f$ precisamente sul bordo.
Trovi il massimo di questa funzione, che corrisponderà al massimo o al minimo dei valori assunti sul bordo.

[zio_mangrovia]

avete un link su questo procedimento?
Vorrei ben documentarmi, non riesco a capire perché si cerca solo sul bordo e non all'interno del cerchio.
Poi non capisco come proseguire con la funzione, devo ricalcolare le derivate parziali e porle uguali a zero?

[Vulplasir]

Beccato.

Vulplasir vede e sente tutto

a retta a −45° rappresenta l'insieme delle soluzioni della funzione cos(x+y)=0
ma tenendo conto della restrizione dovrei considerare quei punti della retta le cui coordinate x e y ricadono nel cerchio,
in definitiva tutti i punti del segmento individuato dall'intersezione della retta −x+π/2 con y=1 e x=1
Cosa ne pensate?

No...ma perché non provi a fare un disegno? Hai l'insieme $x^2+y^2<=1$ e la retta $y=-x+pi/2$, devi determinare l'intersezione di questi due luoghi geometrici...oppure verificare che non si intersecano, insomma la parte:

dovrei considerare quei punti della retta le cui coordinate x e y ricadono nel cerchio

va bene, ma poi:

in definitiva tutti i punti del segmento individuato dall'intersezione della retta −x+π/2 con y=1 e x=1

è tutto senza senso.

non riesco a capire perché si cerca solo sul bordo e non all'interno del cerchio.

Prima si cerca all'interno e poi sul bordo. la condizione cos(x+y)=0 determina i possibili punti estremi all'interno...devi però verificare che tali punti appartengano all'insieme considerato...quello che dice anto_zoolander è il passo successivo, ovvero la ricerca degli estremi sul bordo...ma prima devi verificare l'esistenza di possibili estremi all'interno.

[zio_mangrovia]

[Vulplasir]

Ok, quello è il disegno in questione, ma è stato fatto da un computer...tu sapresti dimostrare quindi che quella retta non interseca il cerchio? E' questo il punto della questione

[anto_zoolander]

Detto in soldoni essendo $A=i n t(A)cuppartialA$
Ovvero Unione dell’interno e il bordo

Supponiamo he esista un punto di Massimo(minimo)
esso o si trova sul bordo, o nell’interno.
Se il gradiente è ovunque non nullo, allora l’interno non contiene punti di Massimo(minimo), pertanto se il bordo è non vuoto,supposta l’esistenza di massimi(minimo), essi devono appartenere al bordo.

Fine.

[zio_mangrovia]

Ok, quello è il disegno in questione, ma è stato fatto da un computer...tu sapresti dimostrare quindi che quella retta non interseca il cerchio? E' questo il punto della questione

La retta essendo inclinata a $45°$ individua un triangolo isoscele sugli assi cartesiani e quindi i lati sugli assi sono di ugual misura. La circonferenza ha raggio 1 ed è centrata sull'origine.
La distanza dall'origine alla retta è pari ha $sqrt((pi/2)^2+(pi/2)^2)=sqrt(2)/2pi$ quindi la retta non incontra la circonferenza visto che i suoi punti distano dall'origine $1$. Questo è sufficiente?

[anto_zoolander]

Distanza retta-centro maggiore del raggio is the better way

[zio_mangrovia]

Detto in soldoni essendo $A=i n t(A)cuppartialA$
Ovvero Unione dell’interno e il bordo

Supponiamo he esista un punto di Massimo(minimo)
esso o si trova sul bordo, o nell’interno.

Chiarissimo

Se il gradiente è ovunque non nullo, allora l’interno non contiene punti di Massimo(minimo), pertanto se il bordo è non vuoto, supposta l’esistenza di massimi(minimo), essi devono appartenere al bordo.
Fine.

Qua sono un po' dubbioso, che significa se il gradiente è ovunque non nullo? Per il calcolo max/min so che devo calcolare il gradiente e verificare per quali valori è uguale a zero.

[anto_zoolander]

Si ma se, come si verificherà in questo caso, il gradiente è diverso dal vettore nullo in ogni punto interno ad $A$, significa che $f$ non può ammettere punti di Massimo/minimo nell’interno del suo dominio.
Perché se li ammettesse, allora il gradiente in quel punto si annullerebbe.

Ho fatto la mia parte, mi dileguo.

NB: oggi vulpla sembra essere di buon umore, non farmelo arrabbiare