Serie convergente o divergente?

[nico97it]

Ciao a tutti, volevo chiedervi se la seguente serie è convergente o divergente (n va da 1 a infinito) :

$ sum_(n = \1) (4^(n^2))/(n!) $

A me viene convergente per il criterio della radice n-esima, ma vorrei una conferma.

[pilloeffe]

Ciao nico97it,

A me viene convergente per il criterio della radice n-esima

Invece la serie proposta è positivamente divergente, dato che è a termini positivi e non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy: $lim_{n \to +infty} a_n = lim_{n \to +infty} frac{4^{n^2}}{n!} \ne 0 $

[nico97it]

Ciao nico97it,

A me viene convergente per il criterio della radice n-esima

Invece la serie proposta è positivamente divergente, dato che è a termini positivi e non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy: $lim_{n \to +infty} a_n = lim_{n \to +infty} frac{4^{n^2}}{n!} \ne 0 $

Ma l'esponenziale non è un o piccolo di n! ? Quindi la condizione necessari è soddisfatta, o sbaglio?

[nico97it]

Ciao nico97it,

A me viene convergente per il criterio della radice n-esima

Invece la serie proposta è positivamente divergente, dato che è a termini positivi e non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy: $lim_{n \to +infty} a_n = lim_{n \to +infty} frac{4^{n^2}}{n!} \ne 0 $

Ho sbagliato a non considerare $ n^2 $ come un blocco ma bensì ho applicato la proprietà delle potenze, facendo diventare
$ 4^(n^2) $ come $ (4^n)^2 =16^n $ . Così facendo applicando i criterio della radice mi veniva 0 e quindi serie convergente. Invece ora, correggetemi se sbaglio diventa:
Criterio radice n-esima

lim di n che va a infinito di $ ((4^(n^2))^(1/n))/(n!)^(1/n) =lim (4^n)/(n/e)=lim (e*4^n)/n= "+infinito" $

Quindi la serie è divergente. E' giusto il procedimento?

[pilloeffe]

E' giusto il procedimento?

Beh, se hai usato la formula di Stirling quasi, nel senso che si ha $n! $ \( \displaystyle \sim \) $ sqrt{2\pi n}(n/e)^n $ per $n to +\infty $
Ma in realtà, molto più semplicemente, prima dell'applicazione di qualsiasi criterio (avrei usato il criterio del rapporto), bastava osservare che si ha $lim_{n \to +\infty} 4^{n^2 }/(n!) = +\infty $ e quindi, dato che la serie a termini positivi proposta non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy, necessariamente diverge positivamente. Ti segnalo sommessamente poi che per rispondere ai post si usa il pulsante RISPONDI che compare in fondo al thread, non il pulsante CITA, che se non usato a proposito non fa altro che appesantire inutilmente il thread.

[nico97it]

Ok,nessun problema non citerò più.
Per quanto riguarda n! ho semplicemente usato n! asintotico a n/e per n che tende a infinito, come dimostrato a lezione di analisi1. Va bene lo stesso giusto? Per quanto riguarda la condizione necessaria hai ragione, ma quel limite non saprei come svolgerlo. Sapresti dirmi come?

[pilloeffe]

Ok,nessun problema non citerò più.

Vabbeh, adesso non fare Alex Drastico: cita quando serve. Sarai d'accordo che citare sempre l'intera risposta di chi ti risponde non sia di particolare utilità...

Va bene lo stesso giusto?

Ma sì dai, ci può stare: $ n! $ \( \displaystyle \sim \) $ sqrt{2\pi n}(n/e)^n $ per $ n to +\infty \implies root[n]{n!} $ \( \displaystyle \sim \) $ root[2n]{2\pi n} (n/e) $ e siccome $lim_{n \to +infty} root[2n]{2\pi n} = 1 $...

quel limite non saprei come svolgerlo. Sapresti dirmi come?

Mah, se proprio non vuoi fare semplici considerazioni sull'ordine di infinito, avrei usato la stessa approssimazione di Stirling che hai citato su $n! $
Anche il criterio del rapporto sarebbe stato molto più semplice:

$ lim_{n \to +infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = lim_{n \to +infty} frac{4^{(n + 1)^2}/{(n + 1)!}}{4^{n^2}/{n!}} = lim_{n \to +infty} frac{4^{n^2 + 2n + 1}}{4^{n^2}} \cdot frac{n!}{(n + 1)!} = lim_{n \to +infty} 4^{2n + 1} \cdot frac{n!}{(n + 1) \cdot n!} = $
$ = lim_{n \to +infty} frac{4^{2n + 1}}{n + 1} = + \infty $

[nico97it]

Perfetto, grazie mille per la risposta. Vorrei chiarire un'altra cosa inerente alle serie e successioni in generale.
Se ho il lim per n che tende a infinito di $ e*n^((-n^2+1)/n^2) $ posso applicare la stima asintotica all'esponente di n? In questo modo diventerebbe:

$ lim e*n^((-n^2+1)/n^2)=lim e*n^-1=0 $

Inoltre se avessi avuto per n che tende a infinito $ lim(n+1)^(n/(n+1)) $ ,vale la seguente stima asintotica?
$ lim(n+1)^(n/(n+1))=lim n^1=lim n= "+infinito" $