Esercizio numeri complessi

[davide.fede]

Salve, riporto un esercizio che non sono riuscito a svolgere: Due delle radici cubiche di $1/2(1+i)^8$ hanno.. e la risposta giusta è "parte reale $=-1$ " . Ho svolto $z^3$ ma non so come svolgere il binomio all'ottava. Mi potete aiutare ?

[pilloeffe]

Ciao davide.fede,

L'esercizio sembra fatto apposta per usare la forma esponenziale:

$1/2 (1 + i)^8 = 1/2 (sqrt{2})^8 e^{i 8 arctan 1} = 8 $

Quindi l'equazione è $z^3 = 8 \implies z^3 - 2^3 = 0 \implies (z - 2)(z^2 + 2 z + 4) = 0 $

le cui soluzioni sono $z_1 = 2 $ e $z_{2,3} = - 1 \pm i sqrt{3} $

[davide.fede]

Scusami non ho capito che cosa hai fatto all'inizio, se hai usato una formula o altro

[pilloeffe]

Ho usato la forma esponenziale del numero complesso $w := (1 + i) = sqrt{2} e^{i arctan(1/1)} = sqrt{2} e^{i arctan(1)} = sqrt{2} e^{i frac{\pi}{4}} $ e poi l'ho elevata alla $8 $:

$ 1/2 w = 1/2 (1 + i) = 1/2 sqrt{2} e^{i frac{\pi}4} \implies 1/2 (1 + i)^8 = 1/2 (sqrt{2})^8 e^{8 i frac{\pi}{4}} = 8 e^{i 2\pi} = 8 $