Serie di Funzioni: Convergenza puntuale e uniforme

[marcoianna]

Buonasera, mi trovo a combattere con questa "spietatissima serie".
Ho di fatto già svolto l'esercizio ma volevo discuterne lo svolgimento poiché non dispongo di soluzione.

Determinare l'insieme di convergenza e studiare la convergenza uniforme della seguente serie di funzioni
\( \sum_{n = \ 1} (-1)^n\frac{\sqrt{n+1} }{\ 3^n logn} (x^2-4)^n\)

Posto \( y=(4-x^3)/3 \) ottengo \( \sum_{n = \ 1} (y)^n\frac{\sqrt{n+1} }{\ logn} \) sfrutto dunque il criterio di Cauchy-Hadamart e scopro che \( \rho=1 \)

Dunque valuto la serie in Y=1 e in Y=-1
a)in Y=1 la serie è inalterata (poichè ottengo (1)^n ) e dunque studiando la serie diverge (se proprio devo essere sincero nemmeno ne sono assai sicuro)
b)in Y=-1 la serie diventa a segni alterni e analizzandola con il criterio di Liebnitz scopro che converge.

se y fosse uguale a 1
Dunque potrei dire che la serie converge puntualmente in \( \sqsubset -1,1\supset \) e per Abel uniformemente in ogni intervallo del tipo \( \sqsubset -1,b\supset \) con |b|<1

Ora ricordandomi che \( y=(4-x^3)/3 \) dovrei studiare tale intervallo in maniera analoga e francamente non sono sicuro di essermi mosso in maniera corretta.

La soluzione che ho ottenuto è : Convergenza puntuale in \( \sqsubset -\sqrt{7},-1\supset ,\subset +1,+\sqrt{7 } \sqsupset \)
e uniforme in ogni intervallo del tipo \( \sqsubset -\sqrt{7},c\supset ,\subset d,+\sqrt{7 } \sqsupset \ \) con c<-1 e d>1




Ringrazio chiunque voglia aiutarmi a risolvere questo esercizio,
lascio in Spoiler il procedimento algebrico che ho seguito ( e che probabilmente ho sbagliato per il calcolo delle convergenze)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

A presto

[marcoianna]

up

[dissonance]

Ma come fa a convergere agli estremi, non vedi che \(\frac{\sqrt{n+1}}{\log n}\to \infty\)?

E poi, come hai scritto gli intervalli? Usa i simboli ovvi: [, (, ), ], non quelle robe astruse lì.

[marcoianna]

Ma come fa a convergere agli estremi, non vedi che \(\frac{\sqrt{n+1}}{\log n}\to \infty\)?

E poi, come hai scritto gli intervalli? Usa i simboli ovvi: [, (, ), ], non quelle robe astruse lì.

Ma infatti pensavo divergesse per y=1 mentre per Y=-1 convergesse per Leibnitz.
Potresti farmi vedere come va affrontata?

[killing_buddha]

\( \sqsubset -\sqrt{7},-1\supset ,\subset +1,+\sqrt{7 } \sqsupset \)
e uniforme in ogni intervallo del tipo \( \sqsubset -\sqrt{7},c\supset ,\subset d,+\sqrt{7 } \sqsupset \ \) con c<-1 e d>1

[marcoianna]

ti ringrazio davvero tanto. Semplicemente non trovavo le parentesi quadre su questa tastiera.
Tutti sbagliano, mi dispiace di averti offeso con questo procedimento.
Pensavo si stesse discutendo seriamente.

[killing_buddha]

Semplicemente non trovavo le parentesi quadre su questa tastiera.

Alt Gr + "è" = [
Alt Gr + "+" = ]
https://it.wikipedia.org/wiki/Alt_Gr#Alt_Gr_su_Windows

d'accordo che nessuno nasce imparato, però per dio, da dove ti viene il minimo di proficienza in LaTeX che ti ha permesso di postare qui, se ignori come si scrivono le parentesi quadre (e di conseguenza le graffe, credo).

[marcoianna]

Mi dispiace di averti urtato, sapevo che stavo utilizzando male dei simboli ma non immaginavo quanto avrebbero potuto ferire.

Ad ogni modo volevo mostrare il mio procedimento anche per rendere più costruttiva la discussione, ma a quanto pare sono più stimolanti le parentesi.

[dissonance]

Non dimenticare la condizione necessaria alla convergenza di una serie. Da quello discende che la tua serie non può convergere per \(y=\pm 1\).