punti frontiera - parametrizzazione

[zio_mangrovia]

Gli estremi di $f(x,y)=xy$ , su ${x≥0;y≥0;x+y≤2}$

Ho verificato che i punti trovati annullando il gradiente non sono né max nè min pertanto proseguirei ad analizzare la frontiera che vedo essere un triangolo con di vertici $0,0$ , $0,2$ e $2,0$
provo a ricavarmi la parametrizzazione ma non so se sia corretta:

$0<=x<=2$ , $y=0$
$0<=x<=2$ , $y=-x$
$0<=y<=2$ , $x=0$

Dovrei arrivare ad una funzione in una sola variabile ma non capisco da qua come proseguire dalle rilevazioni precedenti.

[anonymous_0b37e9]

La condizione sottostante:

$\{((delf)/(delx)=0),((delf)/(dely)=0):}$

può essere utilizzata solo per determinare i punti critici interni all'insieme. Nel caso in esame:

$\{((delf)/(delx)=0),((delf)/(dely)=0):} rarr \{(y=0),(x=0):}$

poichè l'origine non è un punto interno all'insieme, devi interrompere immediatamente lo studio. Per quanto riguarda la frontiera, essa è costituita da tre segmenti:

$bar(OA) : \{(0 lt x lt 2),(y=0):} ^^ f(x,0)=0$

$bar(OB) : \{(x=0),(0 lt y lt 2):} ^^ f(0,y)=0$

$bar(AB) : \{(0 lt x lt 2),(y=-x+2):} ^^ f(x,-x+2)=-x^2+2x rarr T(1,1) ^^ f(1,1)=1$ massimo assoluto

A rigore, nei vertici del triangolo, la funzione deve essere valutata separatamente.

[zio_mangrovia]

La condizione sottostante:
$\{((delf)/(delx)=0),((delf)/(dely)=0):}$
può essere utilizzata solo per determinare i punti critici interni.

Chiarissimo

[center]$bar(AB) : \{(0 lt x lt 2),(y=-x+2):} ^^ f(x,-x+2)=-x^2+2x$

Quindi si esplicita rispetto alla variabile $x$ e si sostituiscono le coordinate ottenute nella funzione originale $f$

$ rarr T(1,1) ^^ f(1,1)=1$ massimo assoluto

$T(1,1)$ rappresenta la funzione che esprime il punto $(1,1)$ nel segmento $bar(AB)$?
$^^$ cosa rappresenta questo simbolo esattamente?

A rigore, nei vertici del triangolo, la funzione deve essere valutata separatamente

Come mai? Avevo notato che non c'erano i simboli dell'uguale ma solo le disuguaglianze.

Graficamente se non capisco male mi devo disegnare la frontiera e la funzione $f(x)$ e cercare le intersezioni tra di loro.
Corretto?

Grazie per la spiegazione a dir poco eccellente e chiarissima. Complimenti

[anonymous_0b37e9]

Quindi si esplicita rispetto alla variabile $x$ e si sostituiscono le coordinate ottenute nella funzione originale $f$ ...

Puoi procedere anche così:

$bar(AB) : \{(0 lt y lt 2),(x=-y+2):} ^^ f(-y+2,y)=-y^2+2y rarr T(1,1) ^^ f(1,1)=1$ massimo assoluto

Inoltre:

$T(1,1)$ è il punto dell'insieme in cui la funzione assume il massimo assoluto

$f(1,1)=1$ è il massimo assoluto della funzione

$^^$ è semplicemente l'and logico

A rigore, nei vertici del triangolo, la funzione deve essere valutata separatamente.

Quando devi determinare gli estremi assoluti di una funzione di una sola variabile:

$f : [a,b] rarr RR$

prima ti concentri sui punti interni all'intervallo valutando la funzione dove $[f'(x)=0]$, quindi valuti separatamente $f(a)$ e $f(b)$. Nel caso in esame, essendo la frontiera costituita da infiniti punti, non puoi evidentemente valutare la funzione in tutti i punti della frontiera. Con i moltiplicatori di Lagrange studi tutti i punti della frontiera che non sono i vertici del triangolo. Finalmente, essendo in numero finito i vertici del triangolo, puoi valutarli separatamente.