Serie

[floyd123]

Ciao a tutti, devo studiare il carattere della seguente serie:
$ sum_(1)^(infty) (1/n^2)(e-(1+1/n)^n) $
La posso semplicemente minorare con la serie di termine generale $ 1/n^2 $ e dunque concludere che converge?

[pilloeffe]

Ciao floyd123,

La serie proposta converge per il criterio del confronto, infatti si ha:

$ sum_{n = 1}^{+\infty} (1/n^2)(e-(1+1/n)^n) \le sum_{n = 1}^{+\infty} (1/n^2) \cdot frac{e}{2n} = e/2 sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^3 $

e l'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 3 $ che è convergente. Per inciso, con analoghe considerazioni è possibile stabilire la convergenza della serie seguente:

$ sum_{n = 1}^{+\infty} (1/n)(e-(1+1/n)^n) \le sum_{n = 1}^{+\infty} (1/n) \cdot frac{e}{2n} = e/2 sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = frac{e\pi^2}{12} $

Invece la serie $ sum_{n = 1}^{+\infty} (e-(1+1/n)^n) $, pur soddisfacendo la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $, è divergente, infatti si ha:

$ sum_{n = 1}^{+\infty} (e-(1+1/n)^n) \ge sum_{n = 1}^{+\infty} frac{e}{2n + 2} = e/2 sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n + 1} $

e l'ultima scritta è la serie armonica privata del primo termine ($1 $, quello che si ottiene per $n = 1 $) notoriamente divergente.

[floyd123]

Grazie mille pilloeffe! Solo una domanda: come hai ricavato quel $ e/(2n) $?

[pilloeffe]

Grazie mille pilloeffe!

Prego!

Solo una domanda: come hai ricavato quel $e/(2n) $ ?

Eh, la domanda è una sola, ma non è proprio banalissima...
Ci sono diversi modi, ad esempio si potrebbe dimostrare (dopo essere passati ai reali ed aver usato la regola di de l'Hôpital... ) che si ha:

$ lim_{n \to +\infty} n(e - (1 + 1/n)^n) = lim_{n \to +\infty} frac{e - (1 + 1/n)^n}{1/n} = e/2 $

Dai un'occhiata anche a questo thread.
Oppure con gli sviluppi in serie:

$(1 + 1/n)^n = exp[n ln(1 + 1/n)] = exp[n(1/n - 1/(2n^2) + o(1/n^3))] = $
$ = exp[1 - 1/(2n) + o(1/n^2)] = e \cdot exp[- 1/(2n) + o(1/n^2)] = $
$ = e \cdot [1 - 1/(2n) + o(1/n^2)] = e - e/(2n) + o(1/n^2) $

Quindi in definitiva si ha:

$ e/(2n) = e - (1 + 1/n)^n + o(1/n^2) \implies e/(2n) \ge e - (1 + 1/n)^n $

Per convincersene definitivamente si può dare un'occhiata a WolframAlpha:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=e+-+(1+%2B+1%2Fn)%5En+%3C%3D+e%2F(2n)

[floyd123]

Chiarissimo, ti ringrazio