Spazi metrici e insiemi compatti per successioni

[anto_zoolander]

Ciao
Ho fatto questa dimostrazione e la vedo bene, però non si sa mai.

dato $(X,d)$ spazio metrico e $KsubsetX$ con la topologia delle palle aperte.

$K$ è compatto per successioni $=>$ $K$ chiuso e limitato.

$•$ $K$ è chiuso(facile)
Mostro che ogni successione convergente, converge a un punto di $K$.

Sia $(x_n)$ una successione di $K$ convergente in $X$ a $x$
Allora ogni sottosuccessione di $(x_n)$ converge anch’essa a $x$
Essendo $K$ compatto è possibile estrarre una sottosuccessione convergente verso un punto di $K$.
Quindi $x inK$
(Suona bene a parole)

$•$ $K$ è limitato
Uso la definizione di limitatezza $existsx inXexistsMinRR^(+):KsubseteqB(x,M)$

Supponiamo per assurdo che non lo sia. Allora fisso $x inX$ e $forallMinRR^(+)existsk inK:d(k,x)geqM$
Facciamo variare $M in{2^n:n inNN}$ e otteniamo una successione $(k_n)subseteqK$ con la proprietà che

$d(k_n,x)geq2^n,foralln inNN=>d(k_n,x)->+infty$

Poche $K$ è compatto allora estraiamo una sottosuccessione convergente ad un punto di $K$ e sia essa

$(k_(n_t))_(t inNN):(exists k inK:d(k_(n_t),k)->0)$

Quindi $d(k_(n_t),x)geq2^(n_t),forallt inNN$ pertanto la distanza può essere sempre minorata.
Ma si ottiene anche $d(k_(n_t),x)leqd(k_(n_t),k)+d(k,x),forallt inNN$

Quindi si ottiene la bella contraddizione.
L’unica perplessità l’avevo nel passare da $d(k_n,x)geq2^n$ a $d(k_(n_t),x)geq2^(n_t)$ ma è subito stata mandata via dal fatto che $n_t inNN,forallt inNN$ e valendo per ogni $n inNN$ vale anche per tutte le immagini della funzione $(n_k)_(k inNN)subseteqNN$

Mi sembra a posto.

[otta96]

Quindi $d(k_(n_t),x)leq2^(n_t),forallt inNN$ pertanto la distanza può essere sempre maggiorata.

Non ho capito da dove viene questa cosa.

Ma si ottiene anche $d(k_(n_t),x)leqd(k_(n_t),k)+d(k,x),forallt inNN$

Quindi si ottiene la bella contraddizione.

In cosa consiste la contraddizione?

[anto_zoolander]

1) Scusa ho scambiato $geq$ con $leq$, ho editato.

2) la contraddizione sta nel fatto che da un lato la quantità $d(k_(n_t),x)$ diverge.
Dall’altro lato si vede che non può divergere perché limitata dalla quantità $d(k_(n_t),k)+d(k,x)$

[otta96]

Ma l'ultima non è una costante, dipende da $t$.

[anto_zoolander]

Si ma quantità $d(k_(n_t),k)$ per come l’ho costruita tende a $0$.

Quindi si avrebbe che

$lim_(t->+infty)d(k_(n_t),x)geqlim_(t->+infty)2^(n_t)=+infty$

$lim_(t->+infty)d(k_(n_t),x)leqd(k,x)$

[otta96]

Si ma quantità $d(k_(n_t),k)$ per come l’ho costruita tende a $0$.

Lo so, volevo solo che lo dicessi, a questo punto mi sembra tutto a posto

[anto_zoolander]

Bella questa tattica motivazionale
Ottimo, grazie