Esercizi vero o falso sulle funzioni

[CatoneUticense]

Ciao ragazzi,

Sono Marco e volevo chiedervi conferma delle mie risposte e aiuto su alcuni dubbi che mi sono posto sulla risoluzione di questi esercizi vero o falso: chiedo conferma perché sul libro di testo non è segnata la soluzione e spesso capita di non essere d'accordo nel gruppo del corso.

1. Se f è continua in x allora è derivabile in x.
Falso, se è derivabile è continua non il contrario

2. Se f è derivabile in x allora è continua in x.
Vero, per quanto detto prima

3. Se f è integrabile su [a,b] allora è continua su [a,b].
Falso, potrebbe avere un numero finito di discontinuità e quindi essere integrabile ma non continua

4. Se \(\displaystyle f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} \) è derivabile allora è continua su [a,b].
Vero, non capisco la differenza con quello di prima però

5. Se f è integrabile in [a,b] allora \(\displaystyle f^n \) è integrabile in [a,b].
Vero, per il teorema dell'integrabilità della composta continua e integrabile

6. f è derivabile in un punto se e solo se è differenziabile.
Vero, perché la condizione è necessaria e sufficiente ed allora \(\displaystyle A\leftrightarrow B \)

7. Se f è limitata in [a,b] allora è integrabile in [a,b].
Falso, potrebbe essere limitata ma infinitamente discontinua (non sono sicuro)

8. Se \(\displaystyle f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} \) è crescente allora è integrabile in [a,b].
Vero, per il teorema che dice che le funzioni monotòne sono integrabili

9. Se f è continua in [a,b] allora ammette primitiva in [a,b].
Vero, per il corollario del teorema sulle proprietà delle funzioni integrali

10. Se f è derivabile in [a,b] allora la derivata f' è continua in [a,b].
Falso, la derivata potrebbe avere un salto in [a,b] o altre discontinuità (non completamente sicuro)

11. Una funzione crescente e continua è derivabile in ogni punto.
Falso, ad esempio la funzione di Weierstrass è continua in ogni punto ma mai derivabile

12. Sia \(\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) continua e decrescente. Allora è derivabile in ogni punto.
Falso, stessa cosa del precedente

Grazie in anticipo ragazzi,
Spero di essere stato chiaro e di non aver violato nessuna regola (è la mia prima volta sul forum)

[anto_zoolander]

1. Ok, esempio $f(x)=|x|$ in $x=0$

2. Ok

3. Ok

4. Si riferisce alla derivata destra e sinistra ed in generale è falso.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

prendi la funzione $f(x)={(x if x in(0,1]),(2 if x=0):}$
La funzione è derivabile in tutto $(0,1)$ e ammette derivata destra e sinistra, ma non è continua in $x=0$

5. Ok

6. Ok, ma sono equivalenti solo per quanto riguarda le funzioni di una variabile reale

7. Ok, la funzione di Dirichlet è un sempio di funzione limitata ma non integrabile

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

la funzione sarebbe $f(x)={(1 if x inQQ),(0 if x inRRsetminusQQ):}$

8. Ok

9. Ok, direi direttamente per il teorema fondamentale del calcolo integrale

10. È falso, però è una cosa delicata perché appunto una cosa è la derivata di una funzione, una cosa è la continuità della funzione derivata. In generale se una funzione è derivabile, allora la derivata prima non può avere discontinuità di prima specie.

11. Su quella funzione non saprei, ma basta considerare $f(x)={(x ifx in[-1,0)),(x^2 if x in[0,1]):}$

12. Ok, basta considerare $(-f)(x)$ di prima

[CatoneUticense]

Grazie anto_zoolander